Determine o ponto simétrico de (alpha, beta) com relação às retas: x+y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o ponto simétrico de em relação à reta . Isso entra no conteúdo de Geometria Analítica, especificamente na parte de simetria em relação a uma reta. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de reflexões e encontrar equações de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta . Essa reta tem coeficiente angular , porque podemos reescrever a equação como . Isso significa que a reta é uma diagonal negativa no plano cartesiano.

Passo 3

Agora, para encontrar o ponto simétrico, precisamos achar o ponto refletido de em relação a essa reta. A ideia é que a reta de simetria seja a mediadora do segmento que une o ponto original e seu simétrico.

Passo 4

Vamos chamar o ponto simétrico de . A reta que liga a deve ser perpendicular à reta . Sabemos que o coeficiente angular da reta perpendicular será o negativo inverso de , que é . Então, a equação da reta perpendicular é , ou simplificando, .

Passo 5

Agora, encontramos o ponto de interseção entre as duas retas: x + (x - alpha + beta) = 0 2x - alpha + beta = 0 2x = alpha - beta x = alpha - beta2 e y = alpha - beta2 - alpha + beta = alpha - beta - 2alpha + 2beta2 = -alpha + beta2 . Substituindo a segunda equação na primeira:
Substituindo na segunda equação:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 6

Esse ponto de interseção é o ponto médio entre (alpha + x'2, beta + y'2) = (alpha - beta2, -alpha + beta2) e alpha + x'2 = alpha - beta2 Rightarrow alpha + x' = alpha - beta Rightarrow x' = -beta . Usando a fórmula do ponto médio:
beta + y'2 = -alpha + beta2 Rightarrow beta + y' = -alpha + beta Rightarrow y' = -alpha
Igualando as coordenadas:

Resposta

O ponto simétrico de em relação à reta é .

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