Determine se os pontos abaixo podem ser vértices de um paralelogramo.
c) A=(3,3,2), B=(3,2,1), C=(3,2,2), D=(3,1,1). Resp. sim

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se os pontos A=(3,3,2), B=(3,2,1), C=(3,2,2) e D=(3,1,1) podem ser vértices de um paralelogramo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e propriedades dos paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um paralelogramo é um quadrilátero com os lados opostos paralelos e de igual comprimento. Uma maneira de verificar se quatro pontos formam um paralelogramo é verificar se os vetores dos lados opostos são iguais.

Passo 3

Vamos calcular os vetores que representam os lados do quadrilátero formado pelos pontos A, B, C e D. Os vetores são dados pela diferença entre as coordenadas dos pontos:
  • Vetor AB: B - A = (3-3, 2-3, 1-2) = (0, -1, -1)
  • Vetor BC: C - B = (3-3, 2-2, 2-1) = (0, 0, 1)
  • Vetor CD: D - C = (3-3, 1-2, 1-2) = (0, -1, -1)
  • Vetor DA: A - D = (3-3, 3-1, 2-1) = (0, 2, 1)

Passo 4

Agora, vamos comparar os vetores dos lados opostos:
  • AB e CD: (0, -1, -1) e (0, -1, -1) → são iguais.
  • BC e DA: (0, 0, 1) e (0, 2, 1) → são diferentes.
Para que seja um paralelogramo, todos os pares de lados opostos devem ter vetores iguais. No entanto, vemos que apenas AB e CD são iguais, enquanto BC e DA são diferentes.

Passo 5

Outra forma de confirmar é verificando se as diagonais do quadrilátero se bissetam, ou seja, se os pontos médios das diagonais são iguais. Vamos calcular os pontos médios das diagonais AC e BD.
  • Diagonal AC: Ponto médio = ((3+3)/2, (3+2)/2, (2+2)/2) = (3, 2.5, 2)
  • Diagonal BD: Ponto médio = ((3+3)/2, (2+1)/2, (1+1)/2) = (3, 1.5, 1)
Os pontos médios são (3, 2.5, 2) e (3, 1.5, 1), que são diferentes. Isso indica que as diagonais não se bissetam, o que é uma propriedade fundamental dos paralelogramos.

Resposta

Não, os pontos fornecidos não podem ser vértices de um paralelogramo.

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