Seja theta in R Encontre o núcleo da transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2 dada por T(x, y)=(x cos (theta)- y sin (theta), x sin (theta)+y cos (theta))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear T(x, y) = (x cos(theta) - y sin(theta), x sin(theta) + y cos(theta)) definida por:
Matéria envolvida: Transformações lineares e núcleo de uma transformação.
O que vamos precisar: Saber o que é o núcleo de uma transformação linear e como resolver sistemas de equações para encontrá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de ker(T) = , (x, y) in R^2 mid T(x, y) = (0, 0) , , denotado por T(x, y) = (0, 0) , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar todos os pares que satisfazem a equação:

Passo 3

Vamos substituir a expressão de (x cos(theta) - y sin(theta), x sin(theta) + y cos(theta)) = (0, 0) na equação :
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 4

Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar x cos(theta) = y sin(theta) Rightarrow x = y sin(theta)cos(theta) Rightarrow x = y tan(theta) e .
Vamos resolver a primeira equação para :

Passo 5

Substituímos (y tan(theta)) sin(theta) + y cos(theta) = 0 Rightarrow y (tan(theta) sin(theta) + cos(theta)) = 0 na segunda equação:
tan(theta) sin(theta) = sin(theta)cos(theta) cdot sin(theta) = sin^2(theta)cos(theta)
Simplificando y ( sin^2(theta)cos(theta) + cos(theta) ) = 0 Rightarrow y ( sin^2(theta) + cos^2(theta)cos(theta) ) = 0 :
y ( 1cos(theta) ) = 0 Rightarrow ycos(theta) = 0 Rightarrow y = 0
Portanto:
Como , temos:

Passo 6

Com x = 0 times tan(theta) = 0 , substituímos de volta na expressão :

Resposta

O núcleo da transformação ker(T) = , (0, 0) , é o conjunto , ou seja:

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