Seja
Encontre o núcleo da transformação linear
dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o núcleo da transformação linear
definida por:
Matéria envolvida: Transformações lineares e núcleo de uma transformação.
O que vamos precisar: Saber o que é o núcleo de uma transformação linear e como resolver sistemas de equações para encontrá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Ou seja:
Então, nosso objetivo é encontrar todos os pares
que satisfazem a equação:
Passo 3
Vamos substituir a expressão de
na equação
:
Isso nos dá um sistema de duas equações:
Passo 4
Agora, precisamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Vamos resolver a primeira equação para
:
Passo 5
Substituímos
na segunda equação:
Simplificando
:
Portanto:
Como
, temos:
Passo 6
Com
, substituímos de volta na expressão
:
Resposta
O núcleo da transformação
é o conjunto
, ou seja: