Prove por indução que se x >= 0 então
(1+x)^n >= 1+n x+[n(n-1)2] x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução, que para qualquer , a expressão é maior ou igual a . Esse tipo de prova está dentro do conteúdo de Matemática Discreta ou Álgebra, especificamente utilizando Prova por Indução Matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar a expansão binomial para comparar os dois lados da desigualdade.

Passo 2

Vamos começar verificando o caso base da indução, ou seja, quando (1 + x)^1 >= 1 + 1 cdot x + [1(1-1)2]x^2 . No caso base, substituímos 1 + x >= 1 + x + 0 cdot x^2 por 1 na desigualdade:
1 + x >= 1 + x
Simplificando:
Isso é verdade, já que ambos os lados são iguais. Portanto, o caso base está comprovado.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a desigualdade é válida para algum inteiro positivo (1 + x)^k >= 1 + kx + [k(k-1)2]x^2 . Ou seja, hipótese de indução:
Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdadeiro para , então também será verdadeiro para .

Passo 4

Vamos considerar a expressão para (1 + x)^k+1 = (1 + x)^k cdot (1 + x) :
(1 + x)^k+1 >= (1 + kx + [k(k-1)2]x^2) cdot (1 + x)
Usando a hipótese de indução, sabemos que . Vamos multiplicar ambos os lados dessa desigualdade por :

Passo 5

Agora, vamos expandir o lado direito da desigualdade:
(1 + kx + k(k-1)2x^2)(1 + x) = 1(1) + 1(x) + kx(1) + kx(x) + k(k-1)2x^2(1) + k(k-1)2x^2(x)
Simplificando:
= 1 + x + kx + kx^2 + k(k-1)2x^2 + k(k-1)2x^3
Agrupando termos semelhantes:
= 1 + (k + 1)x + (k + k(k-1)2)x^2 + k(k-1)2x^3

Passo 6

Agora, queremos mostrar que essa expressão é pelo menos (k + k(k-1)2)x^2 + k(k-1)2x^3 >= (k+1)k2x^2 . Observamos que:
Isso ocorre porque e , já que todos os termos são não negativos.

Passo 7

Portanto, temos que:
(1 + x)^k+1 >= 1 + (k + 1)x + [(k+1)k2]x^2
Isso mostra que se a desigualdade vale para , ela também vale para .

Resposta

Assim, pela Prova por Indução Matemática, demonstramos que para todo inteiro e , a desigualdade é válida.

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