Prove por indução que se
então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução, que para qualquer
, a expressão
é maior ou igual a
. Esse tipo de prova está dentro do conteúdo de Matemática Discreta ou Álgebra, especificamente utilizando Prova por Indução Matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a indução e aplicar a expansão binomial para comparar os dois lados da desigualdade.
Passo 2
Vamos começar verificando o caso base da indução, ou seja, quando
. No caso base, substituímos
por 1 na desigualdade:
Simplificando:
Isso é verdade, já que ambos os lados são iguais. Portanto, o caso base está comprovado.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a desigualdade é válida para algum inteiro positivo
. Ou seja, hipótese de indução:
Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdadeiro para
, então também será verdadeiro para
.
Passo 4
Vamos considerar a expressão para
:
Usando a hipótese de indução, sabemos que
. Vamos multiplicar ambos os lados dessa desigualdade por
:
Passo 5
Agora, vamos expandir o lado direito da desigualdade:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, queremos mostrar que essa expressão é pelo menos
. Observamos que:
Isso ocorre porque
e
, já que todos os termos são não negativos.
Passo 7
Portanto, temos que:
Isso mostra que se a desigualdade vale para
, ela também vale para
.
Resposta
Assim, pela Prova por Indução Matemática, demonstramos que para todo inteiro
e
, a desigualdade
é válida.