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Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
(a) T: R^3 R^2 T(x, y, z)=(x+y+z, 2 x+2 y+2 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear definida por . Isso envolve conceitos de álgebra linear, como núcleo (ou kernel) e imagem (ou imagem) de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da transformação. O núcleo de T(x, y, z) = (0, 0) é o conjunto de todos os vetores x + y + z = 0 2x + 2y + 2z = 0 em que são mapeados para o vetor zero em . Em outras palavras, queremos resolver a equação:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 3

Vamos simplificar esse sistema. Observe que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira:
2(x + y + z) = 0 Rightarrow x + y + z = 0
Então, na verdade, temos apenas uma equação:
x + y + z = 0
Isso significa que temos duas variáveis livres, já que temos três variáveis e uma equação.

Passo 4

Vamos expressar duas das variáveis em termos da terceira. Por exemplo, podemos escolher x = -y - z e (x, y, z) = (-y - z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(-1, 0, 1) como livres:
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores e .

Passo 5

Agora, vamos determinar a base e a dimensão do núcleo. A base do núcleo é o conjunto de vetores que geram todo o núcleo e são linearmente independentes. Nesse caso, os vetores , (-1, 1, 0), (-1, 0, 1) , e são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Portanto, a base do núcleo é:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que aqui é 2.

Passo 6

Agora vamos falar sobre a imagem da transformação . A imagem é o conjunto de todos os vetores em que são resultados de aplicados a vetores de . Basicamente, queremos ver quais combinações lineares são possíveis com as saídas de .

Passo 7

Observando a definição de , vemos que a segunda componente é sempre o dobro da primeira. Isso significa que qualquer vetor na imagem tem a forma , onde .

Passo 8

Então, a imagem é gerada pelo vetor (a, 2a) = a(1, 2) , pois qualquer vetor na imagem pode ser escrito como uma múltiplo de , (1, 2) , :
Portanto, a base da imagem é:
E a dimensão da imagem é 1, já que há apenas um vetor na base.

Resposta

  • Base do núcleo:
  • Dimensão do núcleo: 2
  • Base da imagem:
  • Dimensão da imagem: 1

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