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Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
(a)
.
Determine uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das transformações lineares:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem da transformação linear
definida por
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como núcleo (ou kernel) e imagem (ou imagem) de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo da transformação. O núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para o vetor zero em
. Em outras palavras, queremos resolver a equação:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Vamos simplificar esse sistema. Observe que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira:
Então, na verdade, temos apenas uma equação:
Isso significa que temos duas variáveis livres, já que temos três variáveis e uma equação.
Passo 4
Vamos expressar duas das variáveis em termos da terceira. Por exemplo, podemos escolher
e
como livres:
Então, qualquer vetor no núcleo pode ser escrito como:
Isso mostra que o núcleo é gerado pelos vetores
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a base e a dimensão do núcleo. A base do núcleo é o conjunto de vetores que geram todo o núcleo e são linearmente independentes. Nesse caso, os vetores
e
são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo do outro. Portanto, a base do núcleo é:
A dimensão do núcleo é o número de vetores na base, que aqui é 2.
Passo 6
Agora vamos falar sobre a imagem da transformação
. A imagem é o conjunto de todos os vetores em
que são resultados de
aplicados a vetores de
. Basicamente, queremos ver quais combinações lineares são possíveis com as saídas de
.
Passo 7
Observando a definição de
, vemos que a segunda componente é sempre o dobro da primeira. Isso significa que qualquer vetor na imagem tem a forma
, onde
.
Passo 8
Então, a imagem é gerada pelo vetor
, pois qualquer vetor na imagem pode ser escrito como uma múltiplo de
:
Portanto, a base da imagem é:
E a dimensão da imagem é 1, já que há apenas um vetor na base.
Resposta
- Base do núcleo:
- Dimensão do núcleo: 2
- Base da imagem:
- Dimensão da imagem: 1