Determine se os pontos A, B, C e D abaixo são vértices de um paralelogramo:
(a)
(b) Não
Passo 1
O exercício nos pede para determinar se os pontos dados , , e são vértices de um paralelogramo. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente as propriedades dos vetores e das coordenadas dos pontos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um paralelogramo tem dois pares de lados paralelos. Isso significa que os vetores que representam esses lados devem ser iguais ou múltiplos entre si. Para verificar isso, vamos calcular os vetores dos lados , , e .
Passo 3
Vamos calcular cada vetor usando as coordenadas dos pontos:
Para a parte (a):
AB = (0 - 2, 0 - 2) = (-2, -2)
CD = (-1 - 1, 1 - 3) = (-2, -2)
O vetor é dado por :
O vetor é dado por :
Passo 4
Agora, vamos calcular os outros vetores:
BC = (1 - 0, 3 - 0) = (1, 3)
DA = (2 - (-1), 2 - 1) = (3, 1)
Passo 5
Para ser um paralelogramo, precisamos que AB = CD = (-2, -2) seja igual a BC = (1, 3) e DA = (3, 1) e que seja igual a . Já vimos que:
Passo 6
Observamos que 13 neq 31 e não são iguais. Para confirmar, verificamos se elas são múltiplos umas das outras:
Como os vetores não são múltiplos, os lados e não são paralelos.
Passo 7
Como nem todos os pares de lados são paralelos, concluímos que os pontos , , e não formam um paralelogramo na parte (a).
Passo 8
Vamos analisar a parte (b):
Novamente, calculamos os vetores dos lados.
Passo 9
Calculando os vetores:
AB = (0 - 1, 1 - 0, 1 - (-0)) = (-1, 1, 1)
CD = (-1 - (-1), 0 - 1, 1 - 1) = (0, -1, 0)
BC = (-1 - 0, 1 - 1, 1 - 1) = (-1, 0, 0)
DA = (1 - (-1), 0 - 0, -0 - 1) = (2, 0, -1)
Passo 10
Para ser um paralelogramo, precisamos que AB = (-1, 1, 1) neq CD = (0, -1, 0) e BC = (-1, 0, 0) neq DA = (2, 0, -1) . Observamos que:
Passo 11
Como nenhum dos pares de vetores é igual, os lados não são paralelos. Portanto, os pontos , , e não formam um paralelogramo na parte (b).