A reta r passa por P=(1,-1,1) e tem vetor diretor u=(2,3,-1). Para cada um dos seguintes planos pi, determine se r e pi são paralelos, perpendiculares ou nenhum desses.
© pi: x-y-z=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reta que passa pelo ponto e tem um vetor diretor . Queremos descobrir se essa reta é paralela, perpendicular ou nenhuma das duas em relação ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente sobre a relação entre retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor normal do plano . A equação geral de um plano é , onde o vetor normal é . No nosso caso, , então o vetor normal é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar a relação entre a reta e o plano . Existem três possibilidades:
  1. Paralela: Se o vetor diretor da reta for perpendicular ao vetor normal do plano.
  2. Perpendicular: Se o vetor diretor da reta for paralelo ao vetor normal do plano.
  3. Nenhuma das duas: Se nenhuma das condições acima for satisfeita.

Passo 4

Para verificar se o vetor diretor u cdot n = (2)(1) + (3)(-1) + (-1)(-1) é perpendicular ao vetor normal u cdot n = 2 - 3 + 1 = 0 , calculamos o produto escalar entre eles. Se o produto escalar for zero, os vetores são perpendiculares.

Passo 5

Como o produto escalar , isso significa que o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano . Portanto, a reta é paralela ao plano .

Resposta

A reta é paralela ao plano .

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