Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
l) f(x, y) = x^4 + y^4 - 20 x^2 - 10 x y - 25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os pontos críticos da função e classificar cada um deles. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente encontrar derivadas parciais e analisar a natureza dos pontos críticos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, precisamos calcular e , que são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E agora a derivada parcial em relação a :
Essas derivadas nos darão as equações para encontrar os pontos críticos.

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos simplificar a segunda equação para expressar em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos na primeira equação:
Vamos calcular cada termo passo a passo.

Passo 6

Calculando :
Então, a equação fica:

Passo 7

Simplificando os denominadores:
Multiplicando todos os termos por 125 para eliminar as frações:
Fatorando :
Então, uma solução é . Vamos resolver .

Passo 8

Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Essa equação é complexa, mas notamos que uma solução óbvia é . Portanto, o único ponto crítico real ocorre quando .

Passo 9

Com , vamos encontrar :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 10

Agora, vamos classificar o ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas segunda , e a derivada mista .

Passo 11

Calculando as derivadas segunda:

Passo 12

No ponto crítico , avaliamos as derivadas:

Passo 13

Agora, calculamos o discriminante :
Como , isso indica que o ponto é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico da função é e ele é um ponto de sela.

Exercícios relacionados

Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
g) f(x, y) = y cos(x)
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
c) C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1} e (x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1 e f(x, y, z) = x * z + y.
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
d) C = {(x, y, z) em R^3 : x + y + z = 1} e x - y + 3 z = 3 e f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2.
Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y, z) = 2x + y - z^2 no compacto C.
b) C = {(x, y, z) em R^3 : 4x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0, z > 0} e 2 z <= 2 x + y + 4.