Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
l)
l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar os pontos críticos da função
e classificar cada um deles. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente encontrar derivadas parciais e analisar a natureza dos pontos críticos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, precisamos calcular
e
, que são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E agora a derivada parcial em relação a
:
Essas derivadas nos darão as equações para encontrar os pontos críticos.
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações:
Vamos simplificar a segunda equação para expressar
em termos de
:
Passo 5
Agora, substituímos
na primeira equação:
Vamos calcular cada termo passo a passo.
Passo 6
Calculando
:
Então, a equação fica:
Passo 7
Simplificando os denominadores:
Multiplicando todos os termos por 125 para eliminar as frações:
Fatorando
:
Então, uma solução é
. Vamos resolver
.
Passo 8
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Essa equação é complexa, mas notamos que uma solução óbvia é
. Portanto, o único ponto crítico real ocorre quando
.
Passo 9
Com
, vamos encontrar
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 10
Agora, vamos classificar o ponto crítico usando o teste da segunda derivada. Precisamos calcular as derivadas segunda
,
e a derivada mista
.
Passo 11
Calculando as derivadas segunda:
Passo 12
No ponto crítico
, avaliamos as derivadas:
Passo 13
Agora, calculamos o discriminante
:
Como
, isso indica que o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico da função é
e ele é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
g)
g)
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
c) e
e
.
c)
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
d) e
e
.
d)
Encontre o máximo e o mínimo de
no compacto
.
b) e
.
b)