Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
g) f(x, y) = y cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função e classificá-los. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente de derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero ou não existem. Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação , sabemos que isso acontece quando , onde é qualquer inteiro.

Passo 6

Agora, substituímos na primeira equação . Sabemos que , então:
Portanto, os pontos críticos são aqueles onde e .

Passo 7

Resumindo, os pontos críticos são:

Passo 8

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas parciais:

Passo 9

Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Nos pontos críticos, e , então:

Passo 10

Como , isso indica que cada ponto crítico é um ponto de sela (ou seja, não é um máximo nem um mínimo local).

Resposta

Os pontos críticos da função são todos os pontos da forma , onde é qualquer inteiro. Cada um desses pontos é um ponto de sela.

Exercícios relacionados

Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
c) C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1} e (x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1 e f(x, y, z) = x * z + y.
Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y, z) = 2x + y - z^2 no compacto C.
a) C = {(x, y, z) em R^3 : 4x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0, z > 0} e 2z = 2x + y + 4.
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
l) f(x, y) = x^4 + y^4 - 20 x^2 - 10 x y - 25
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
d) C = {(x, y, z) em R^3 : x + y + z = 1} e x - y + 3 z = 3 e f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2.