Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente de derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero ou não existem. Então, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 5
Primeiro, da segunda equação
, sabemos que isso acontece quando
, onde
é qualquer inteiro.
Passo 6
Agora, substituímos
na primeira equação
. Sabemos que
, então:
Portanto, os pontos críticos são aqueles onde
e
.
Passo 7
Resumindo, os pontos críticos são:
Passo 8
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o Teste da Segunda Derivada. Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas parciais:
Passo 9
Calculamos o determinante da matriz Hessiana:
Nos pontos críticos,
e
, então:
Passo 10
Como
, isso indica que cada ponto crítico é um ponto de sela (ou seja, não é um máximo nem um mínimo local).
Resposta
Os pontos críticos da função
são todos os pontos da forma
, onde
é qualquer inteiro. Cada um desses pontos é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
c) e
e
.
c)
Encontre o máximo e o mínimo de
no compacto
.
a) e
.
a)
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
l)
l)
Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
d) e
e
.
d)