Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
c)
e
e
.
c)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função
no conjunto
, que é definido pelas equações
e
. Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria no espaço e otimização com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que define o conjunto
. As equações
e
representam duas esferas no espaço tridimensional. O conjunto
é a interseção dessas duas esferas, ou seja, os pontos que pertencem a ambas.
Passo 3
Vamos simplificar a segunda equação para facilitar a resolução:
Sabemos que
, então substituindo:
Então, além de
, temos que
.
Passo 4
Vamos resolver
para uma das variáveis, por exemplo,
. Agora substituímos isso na equação da esfera:
Como
, temos que
, ou seja,
.
Passo 5
Agora, vamos expressar a função
em termos de
. Sabemos que
, então:
E como
, temos
. Assim, a função fica:
Passo 6
Para encontrar os valores máximos e mínimos de
no intervalo
, vamos analisar os pontos extremos e verificar se há algum ponto crítico dentro desse intervalo.
Primeiro, avaliamos nos extremos:
-
Para
: -
Para
:
Agora, vamos verificar um ponto intermediário, por exemplo,
:
Resposta
O valor máximo de
é aproximadamente
no ponto
e o valor mínimo é aproximadamente
no ponto
.
Exercícios relacionados
Encontre o máximo e o mínimo de
no compacto
.
a) e
.
a)
Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região
. (Esboce
.)
d) .
d)
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
g)
g)
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
l)
l)