Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
c) C = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1} e (x-1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 1 e f(x, y, z) = x * z + y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximo e mínimo da função no conjunto , que é definido pelas equações e . Para isso, vamos utilizar conceitos de geometria no espaço e otimização com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que define o conjunto . As equações e representam duas esferas no espaço tridimensional. O conjunto é a interseção dessas duas esferas, ou seja, os pontos que pertencem a ambas.

Passo 3

Vamos simplificar a segunda equação para facilitar a resolução:
Sabemos que , então substituindo:
Então, além de , temos que .

Passo 4

Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, . Agora substituímos isso na equação da esfera:
Como , temos que , ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos expressar a função em termos de . Sabemos que , então:
E como , temos . Assim, a função fica:

Passo 6

Para encontrar os valores máximos e mínimos de no intervalo , vamos analisar os pontos extremos e verificar se há algum ponto crítico dentro desse intervalo.
Primeiro, avaliamos nos extremos:
  • Para :
  • Para :
Agora, vamos verificar um ponto intermediário, por exemplo, :

Resposta

O valor máximo de é aproximadamente no ponto e o valor mínimo é aproximadamente no ponto .

Exercícios relacionados

Encontre o máximo e o mínimo de f(x, y, z) = 2x + y - z^2 no compacto C.
a) C = {(x, y, z) em R^3 : 4x^2 + y^2 - z^2 + 1 = 0, z > 0} e 2z = 2x + y + 4.
Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região D. (Esboce D.)
d) f(x, y) = 2 x^2 - x y + y^2 + 7 x ; D = {(x, y) in R^2 / -3 <= x <= 3, -3 <= y <= 3}.
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
g) f(x, y) = y cos(x)
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
l) f(x, y) = x^4 + y^4 - 20 x^2 - 10 x y - 25