Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em C, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
d) C = {(x, y, z) em R^3 : x + y + z = 1} e x - y + 3 z = 3 e f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função no conjunto , que é definido pelas equações e . O conteúdo que vamos usar aqui é o de otimização de funções com restrições, e para isso vamos precisar resolver as equações que definem para encontrar os pontos que podem dar esses valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema de equações que define o conjunto :
Para resolver esse sistema, podemos somar as duas equações para eliminar o . Assim:
Agora, podemos expressar em função de :

Passo 3

Com expresso em função de , vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar :
Agora temos todas as variáveis em termos de :

Passo 4

Agora que expressamos e em termos de , vamos substituir essas expressões na função :
Vamos expandir e simplificar essa expressão para encontrar uma função só de :
ã

Passo 5

Agora temos uma função quadrática em : . Para encontrar os valores mínimo e máximo dessa função, vamos analisar seu comportamento. Sabemos que uma função quadrática tem um ponto mínimo se e máximo se . Aqui, , então a função tem um ponto mínimo.
O valor de onde ocorre o mínimo é dado por:

Passo 6

Agora que temos o valor de , vamos encontrar os valores correspondentes de e :
Então, o ponto onde ocorre o mínimo é .

Passo 7

Vamos calcular o valor mínimo da função nesse ponto:
Como a função é uma parábola voltada para cima e não há restrições no valor de , não há um valor máximo finito; a função cresce indefinidamente conforme se afasta.

Resposta

O valor mínimo de em é , atingido no ponto . Não existe um valor máximo finito para em .

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