Encontre, caso existam, os valores máximo e mínimo de
em
, bem como os pontos onde estes valores são assumidos:
d)
e
e
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
no conjunto
, que é definido pelas equações
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de otimização de funções com restrições, e para isso vamos precisar resolver as equações que definem
para encontrar os pontos que podem dar esses valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema de equações que define o conjunto
:
Para resolver esse sistema, podemos somar as duas equações para eliminar o
. Assim:
Agora, podemos expressar
em função de
:
Passo 3
Com
expresso em função de
, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar
:
Agora temos todas as variáveis em termos de
:
Passo 4
Agora que expressamos
e
em termos de
, vamos substituir essas expressões na função
:
Vamos expandir e simplificar essa expressão para encontrar uma função só de
:
Passo 5
Agora temos uma função quadrática em
:
. Para encontrar os valores mínimo e máximo dessa função, vamos analisar seu comportamento. Sabemos que uma função quadrática
tem um ponto mínimo se
e máximo se
. Aqui,
, então a função tem um ponto mínimo.
O valor de
onde ocorre o mínimo é dado por:
Passo 6
Agora que temos o valor de
, vamos encontrar os valores correspondentes de
e
:
Então, o ponto onde ocorre o mínimo é
.
Passo 7
Vamos calcular o valor mínimo da função
nesse ponto:
Como a função é uma parábola voltada para cima e não há restrições no valor de
, não há um valor máximo finito; a função cresce indefinidamente conforme
se afasta.
Resposta
O valor mínimo de
em
é
, atingido no ponto
. Não existe um valor máximo finito para
em
.