Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento, concavidade (ou seja, se a curva está virada pra cima) e, por fim, esboçar o gráfico da função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, mais especificamente as derivadas primeira e segunda da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas da função
.
A primeira derivada
nos ajuda a identificar onde a função está crescendo ou diminuindo e também os pontos críticos.
A segunda derivada
nos ajuda a determinar a concavidade da função e os possíveis pontos de inflexão.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a primeira derivada é igual a zero ou onde ela não existe.
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função usando a primeira derivada.
- Quando
: A função está crescendo. - Quando
: A função está decrescendo.
Analisando
:
- Para
: → A função está crescendo. - Para
: → A função está decrescendo.
Então:
- Crescendo no intervalo
. - Decrescendo no intervalo
.
Passo 5
Vamos verificar a concavidade da função usando a segunda derivada
.
Como
para todo
, a função é côncava para baixo em todo o seu domínio.
Além disso, como a segunda derivada é constante e nunca muda de sinal, não há pontos de inflexão na função.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
.
Sabemos que essa é uma parábola com a concavidade voltada para baixo (porque
), e que o vértice está no ponto crítico
.
Calculando
:
Então, o vértice da parábola está no ponto
. A parábola se abre para baixo e intercepta o eixo y em
e os eixos x em
e
.
Resposta
- Ponto crítico:
. - Intervalos de crescimento:
. - Intervalos de decrescimento:
. - Concavidade: Côncava para baixo em todo o domínio.
- Pontos de inflexão: Nenhum.
- Esboço do gráfico: Parabola com vértice em
, aberta para baixo, interceptando os eixos x em e .
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Encontre a derivada da função.
Derive.
Determine
e
.
Calcule a derivada das funções abaixo