Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! O exercício pede para a gente encontrar os pontos críticos, pontos de inflexão, intervalos de crescimento, concavidade (ou seja, se a curva está virada pra cima) e, por fim, esboçar o gráfico da função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, mais especificamente as derivadas primeira e segunda da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas da função .
A primeira derivada nos ajuda a identificar onde a função está crescendo ou diminuindo e também os pontos críticos.
A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função e os possíveis pontos de inflexão.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos ocorrem onde a primeira derivada é igual a zero ou onde ela não existe.
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função usando a primeira derivada.
  • Quando : A função está crescendo.
  • Quando : A função está decrescendo.
Analisando :
  • Para : → A função está crescendo.
  • Para : → A função está decrescendo.
Então:
  • Crescendo no intervalo .
  • Decrescendo no intervalo .

Passo 5

Vamos verificar a concavidade da função usando a segunda derivada .
Como para todo , a função é côncava para baixo em todo o seu domínio.
Além disso, como a segunda derivada é constante e nunca muda de sinal, não há pontos de inflexão na função.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função .
Sabemos que essa é uma parábola com a concavidade voltada para baixo (porque ), e que o vértice está no ponto crítico .
Calculando :
Então, o vértice da parábola está no ponto . A parábola se abre para baixo e intercepta o eixo y em e os eixos x em e .

Resposta

  • Ponto crítico: .
  • Intervalos de crescimento: .
  • Intervalos de decrescimento: .
  • Concavidade: Côncava para baixo em todo o domínio.
  • Pontos de inflexão: Nenhum.
  • Esboço do gráfico: Parabola com vértice em , aberta para baixo, interceptando os eixos x em e .

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Encontre a derivada da função.
Derive.
Determine e .
Calcule a derivada das funções abaixo