Derive.

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função . Esse exercício faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como calcular derivadas de funções que são produtos de duas outras funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra do Produto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável. No nosso caso, queremos saber como muda quando muda.

Passo 3

Como nossa função é o produto de duas funções, vamos usar a Regra do Produto para encontrar sua derivada. A regra do produto diz que se você tem duas funções, digamos e , então a derivada de é:
onde e são as derivadas de e , respectivamente.

Passo 4

Identificamos em nossa função:
Agora, vamos encontrar as derivadas dessas funções.

Passo 5

Calculando as derivadas individuais:
Essas são derivadas básicas das funções trigonométricas.

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto:
Essa expressão pode ser simplificada usando uma identidade trigonométrica.

Passo 7

Sabemos que:
Portanto, podemos escrever:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Calcule: em que
Determine a inversa das seguintes funções:
Encontre a derivada da função.
Determine os pontos críticos, de inflexão, intervalos de crescimento, convexidade (concavidade voltada para cima) e ao final esboce o gráfico(dica: use as derivadas primeira e segunda).