Determine se os pontos e estão na superfície dada.
2.
Passo 1
Beleza, vamos descobrir se os pontos e estão na superfície definida pela função vetorial . Para fazer isso, precisamos ver se existem valores de e que, ao serem substituídos na função, resultam exatamente nas coordenadas de e .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o ponto . A gente vai igualar cada componente da função vetorial às coordenadas de :
Passo 3
A partir da primeira equação , podemos expressar em termos de :
Passo 4
Substituímos na segunda equação :
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, vamos fatorar:
Portanto, ou .
Passo 6
Vamos encontrar para cada valor de :
Se :
Se :
Passo 7
Agora, vamos verificar cada par na terceira equação :
Para :
á
Para :
á
Só o par satisfaz todas as equações.
Passo 8
Agora, vamos verificar o ponto . Igualamos as componentes:
Passo 9
Da primeira equação , temos:
Passo 10
Substituímos na segunda equação :
Expandindo o quadrado:
Simplificando:
Passo 11
Resolvemos a equação quadrática . Fatorando:
Então, ou .
Passo 12
Encontramos para cada :
Se :
Se :
Passo 13
Verificamos cada par na terceira equação :
Para :
á
Para :
á
Nenhum dos pares satisfaz todas as equações.
Resposta
O ponto está na superfície, enquanto o ponto não está na superfície.