Determine se os pontos P e Q estão na superfície dada.
2. r(u, v)=lang<= u+v, u^2-v, u+v^2rang<= P(3,-1,5), Q(-1,3,4)

Passo 1

Beleza, vamos descobrir se os pontos e estão na superfície definida pela função vetorial . Para fazer isso, precisamos ver se existem valores de e que, ao serem substituídos na função, resultam exatamente nas coordenadas de e .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o ponto u + v = 3 u^2 - v = -1 u + v^2 = 5 . A gente vai igualar cada componente da função vetorial às coordenadas de :

Passo 3

A partir da primeira equação u = 3 - v , podemos expressar em termos de :

Passo 4

Substituímos (3 - v)^2 - v = -1 na segunda equação 9 - 6v + v^2 - v = -1 :
v^2 - 7v + 10 = 0
Expandindo o quadrado:
Simplificando:

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática (v - 2)(v - 5) = 0 . Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, vamos fatorar:
Portanto, ou .

Passo 6

Vamos encontrar u = 3 - 2 = 1 para cada valor de u = 3 - 5 = -2 :
  • Se :
  • Se :

Passo 7

Agora, vamos verificar cada par 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5 (válido) na terceira equação -2 + 5^2 = -2 + 25 = 23 neq 5 (inválido) :
  • Para :
    á
  • Para :
    á
Só o par satisfaz todas as equações.

Passo 8

Agora, vamos verificar o ponto u + v = -1 u^2 - v = 3 u + v^2 = 4 . Igualamos as componentes:

Passo 9

Da primeira equação u = -1 - v , temos:

Passo 10

Substituímos (-1 - v)^2 - v = 3 na segunda equação 1 + 2v + v^2 - v = 3 :
v^2 + v - 2 = 0
Expandindo o quadrado:
Simplificando:

Passo 11

Resolvemos a equação quadrática (v + 2)(v - 1) = 0 . Fatorando:
Então, ou .

Passo 12

Encontramos u = -1 - (-2) = 1 para cada u = -1 - 1 = -2 :
  • Se :
  • Se :

Passo 13

Verificamos cada par 1 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5 neq 4 (inválido) na terceira equação -2 + 1^2 = -2 + 1 = -1 neq 4 (inválido) :
  • Para :
    á
  • Para :
    á
Nenhum dos pares satisfaz todas as equações.

Resposta

O ponto está na superfície, enquanto o ponto não está na superfície.

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