Determine em quais pontos as funções f abaixo têm derivadas, e escreva a função f': f(x) = { -x + 3, se x ≠ 1; 3, se x = 1 }.

Passo 1

Beleza, temos que analisar onde a função tem derivada e encontrar a derivada . A função dada é uma função por partes, ou seja, ela se comporta de maneira diferente dependendo do valor de . Vamos precisar entender o que é derivada e como ela funciona em funções definidas por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde . Aqui, , que é uma função linear. Sabemos que a derivada de uma função linear é simplesmente o coeficiente . Então, a derivada dessa parte é:

Passo 3

Agora, precisamos verificar o ponto onde a função é definida de forma diferente, ou seja, em . Para a função ter derivada nesse ponto, ela precisa ser contínua e ter derivadas laterais iguais.
Primeiro, vamos verificar a continuidade em . Calculamos o limite quando se aproxima de 1:
Mas , então há uma descontinuidade em . Se a função não for contínua nesse ponto, ela não pode ter derivada ali.

Passo 4

Como a função não é contínua em , não existe derivada nesse ponto. Portanto, a derivada não está definida em .

Resposta

A fun��ão tem derivada em todos os pontos reais exceto em . A derivada é dada por:
ã

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