Determine em quais pontos as funções
abaixo têm derivadas, e escreva a função
:
.
Passo 1
Beleza, temos que analisar onde a função
tem derivada e encontrar a derivada
. A função dada é uma função por partes, ou seja, ela se comporta de maneira diferente dependendo do valor de
. Vamos precisar entender o que é derivada e como ela funciona em funções definidas por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte da função onde
. Aqui,
, que é uma função linear. Sabemos que a derivada de uma função linear
é simplesmente o coeficiente
. Então, a derivada dessa parte é:
Passo 3
Agora, precisamos verificar o ponto onde a função é definida de forma diferente, ou seja, em
. Para a função ter derivada nesse ponto, ela precisa ser contínua e ter derivadas laterais iguais.
Primeiro, vamos verificar a continuidade em
. Calculamos o limite quando
se aproxima de 1:
Mas
, então há uma descontinuidade em
. Se a função não for contínua nesse ponto, ela não pode ter derivada ali.
Passo 4
Como a função não é contínua em
, não existe derivada nesse ponto. Portanto, a derivada
não está definida em
.
Resposta
A fun��ão
tem derivada em todos os pontos reais exceto em
. A derivada
é dada por:
Exercícios relacionados
Mostre que
é derivável em
e esboce o gráfico da função
.
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Determine a derivada de ordem
das seguintes funções: