Determine a derivada de ordem
das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada de ordem
da função
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar o seno e entender o que significa derivada de ordem
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada nos diz a taxa de variação de uma função em relação à sua variável. Quando falamos de derivada de ordem
, estamos aplicando a operação de derivação
vezes seguidas.
Passo 3
Vamos começar derivando
uma vez. A derivada de
é
:
Passo 4
Agora, derivamos novamente para encontrar a segunda derivada:
Viu que o sinal mudou? Isso acontece porque a derivada de
é
.
Passo 5
Continuando, vamos derivar a terceira vez:
E a quarta derivada:
Percebemos que a função volta a
após quatro derivações.
Passo 6
Isso mostra que as derivadas de
seguem um ciclo de quatro passos:
-
-
-
-
- De volta a
Passo 7
Para encontrar a derivada de ordem
, podemos usar o fato de que as derivadas se repetem a cada quatro passos. Então, podemos dividir
por 4 e ver qual o resto para determinar qual forma a derivada assume.
Passo 8
Matematicamente, podemos expressar isso usando a função módulo:
Dependendo do valor de
, a derivada será uma das quatro formas mencionadas.
Passo 9
Então, resumindo:
- Se
: - Se
: - Se
: - Se
:
Resposta
A derivada de ordem
da função
é: