Determine a derivada de ordem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada de ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar o seno e entender o que significa derivada de ordem .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada nos diz a taxa de variação de uma função em relação à sua variável. Quando falamos de derivada de ordem , estamos aplicando a operação de derivação vezes seguidas.

Passo 3

Vamos começar derivando uma vez. A derivada de é :

Passo 4

Agora, derivamos novamente para encontrar a segunda derivada:
Viu que o sinal mudou? Isso acontece porque a derivada de é .

Passo 5

Continuando, vamos derivar a terceira vez:
E a quarta derivada:
Percebemos que a função volta a após quatro derivações.

Passo 6

Isso mostra que as derivadas de seguem um ciclo de quatro passos:
  1. De volta a

Passo 7

Para encontrar a derivada de ordem , podemos usar o fato de que as derivadas se repetem a cada quatro passos. Então, podemos dividir por 4 e ver qual o resto para determinar qual forma a derivada assume.

Passo 8

Matematicamente, podemos expressar isso usando a função módulo:
Dependendo do valor de , a derivada será uma das quatro formas mencionadas.

Passo 9

Então, resumindo:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :

Resposta

A derivada de ordem da função é:

Exercícios relacionados

Utilizando regras de derivação, calcule as seguintes derivadas:
Determine em quais pontos as funções abaixo têm derivadas, e escreva a função : .
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :
Determine as derivadas das funções a seguir: