Determine a derivada de ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada de ordem da função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar o seno e entender o que significa derivada de ordem .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada de uma função. A derivada nos diz a taxa de variação de uma função em relação à sua variável. Quando falamos de derivada de ordem , estamos aplicando a operação de derivação vezes seguidas.
Passo 3
Vamos começar derivando uma vez. A derivada de é :
Passo 4
Agora, derivamos novamente para encontrar a segunda derivada:
Viu que o sinal mudou? Isso acontece porque a derivada de é .
Passo 5
Continuando, vamos derivar a terceira vez:
E a quarta derivada:
Percebemos que a função volta a após quatro derivações.
Passo 6
Isso mostra que as derivadas de seguem um ciclo de quatro passos:
De volta a
Passo 7
Para encontrar a derivada de ordem , podemos usar o fato de que as derivadas se repetem a cada quatro passos. Então, podemos dividir por 4 e ver qual o resto para determinar qual forma a derivada assume.
Passo 8
Matematicamente, podemos expressar isso usando a função módulo:
Dependendo do valor de , a derivada será uma das quatro formas mencionadas.