Determine todos os valores possíveis para a constante real
tais que a função abaixo seja contínua em toda a reta real:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função definida por partes e queremos descobrir todos os valores possíveis para a constante real
de forma que essa função seja contínua em toda a reta real. Isso vai envolver entender o que significa uma função ser contínua e como garantir que não haja “saltos” no gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto forem iguais. No nosso caso, a função é definida de duas maneiras diferentes para
e para
. Então, precisamos garantir que, nesse ponto de divisão (
), os dois lados se encontrem sem “pulinho”.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função quando
. Usando a primeira parte da função:
Então, o valor da função em
é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Então, o limite pela esquerda é 1.
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite da função quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Portanto, o limite pela direita é .
Passo 6
Para a função ser contínua em
, os dois limites devem ser iguais ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, temos:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar todos os valores de
que satisfazem . Sabemos que o seno de um ângulo é igual a 1 quando o ângulo é
(90 graus) mais múltiplos de
(360 graus). Assim:
Resposta
Todos os valores de
que garantem a continuidade da função são da forma: