Determine todos os valores possíveis para a constante real a tais que a função abaixo seja contínua em toda a reta real:
f(x) = { x^2 + 1, se x <= 0; 3x + sen(a), se x > 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função definida por partes e queremos descobrir todos os valores possíveis para a constante real de forma que essa função seja contínua em toda a reta real. Isso vai envolver entender o que significa uma função ser contínua e como garantir que não haja “saltos” no gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto forem iguais. No nosso caso, a função é definida de duas maneiras diferentes para e para . Então, precisamos garantir que, nesse ponto de divisão ( ), os dois lados se encontrem sem “pulinho”.

Passo 3

Vamos calcular o valor da função quando . Usando a primeira parte da função:
Então, o valor da função em é 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Então, o limite pela esquerda é 1.

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite da função quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Portanto, o limite pela direita é .

Passo 6

Para a função ser contínua em , os dois limites devem ser iguais ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Substituindo os valores que encontramos:
Então, temos:

Passo 7

Agora, precisamos encontrar todos os valores de que satisfazem . Sabemos que o seno de um ângulo é igual a 1 quando o ângulo é (90 graus) mais múltiplos de (360 graus). Assim:
éú

Resposta

Todos os valores de que garantem a continuidade da função são da forma:

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