Sabendo que a rotação das coordenadas (x, y) para (x^prime, y^prime) é dada por binomxy=R(theta)binomx^primey^prime, onde R(theta)=(rrcos theta & -sen theta sen theta & cos theta) é a matriz de rotação no sentido anti-horário, resolva os exercícios abaixo. Determine as novas coordenadas dos pontos (1,0) e (0,1) quando os eixos coordenados são girados de um ângulo de 30^circ no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre rotação de coordenadas. A ideia é descobrir como mudam as coordenadas dos pontos quando giramos os eixos em 30 graus no sentido anti-horário. Vamos usar matrizes de rotação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a matriz de rotação. Quando giramos os eixos, usamos a matriz:
R(theta) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta
Aqui, é o ângulo de rotação. No nosso caso, .

Passo 3

Vamos calcular os valores de cos 30^circ = raiz32 e sin 30^circ = 12 e . Sabemos que:

Passo 4

Substituindo esses valores na matriz de rotação, temos:
R(30^circ) = raiz32 & -12 12 & raiz32

Passo 5

Agora, queremos encontrar as novas coordenadas x y = R(30^circ) x' y' dos pontos R(-theta) = cos theta & sin theta -sin theta & cos theta e após a rotação. Para isso, usamos a relação:
Mas queremos expressar em função de . Para isso, precisamos inverter a matriz de rotação. A inversa de é:

Passo 6

Então, a matriz inversa para R(-30^circ) = raiz32 & 12 -12 & raiz32 é:

Passo 7

Vamos agora aplicar essa matriz aos pontos x' y' = R(-30^circ) 1 0 = raiz32 times 1 + 12 times 0 -12 times 1 + raiz32 times 0 = raiz32 -12 e x' y' = R(-30^circ) 0 1 = raiz32 times 0 + 12 times 1 -12 times 0 + raiz32 times 1 = 12 raiz32 .
Para :

[

= R(-30^\circ)


]
Para :

[

= R(-30^\circ)


]

Resposta

Após girar os eixos em no sentido anti-horário, as novas coordenadas são:
  • Ponto :
  • Ponto :

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