Sabendo que a rotação das coordenadas
para
é dada por
, onde
é a matriz de rotação no sentido anti-horário, resolva os exercícios abaixo. Determine as novas coordenadas dos pontos
e
quando os eixos coordenados são girados de um ângulo de
no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que fala sobre rotação de coordenadas. A ideia é descobrir como mudam as coordenadas dos pontos quando giramos os eixos em 30 graus no sentido anti-horário. Vamos usar matrizes de rotação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a matriz de rotação. Quando giramos os eixos, usamos a matriz:
Aqui,
é o ângulo de rotação. No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos calcular os valores de
e
. Sabemos que:
Passo 4
Substituindo esses valores na matriz de rotação, temos:
Passo 5
Agora, queremos encontrar as novas coordenadas
dos pontos
e
após a rotação. Para isso, usamos a relação:
Mas queremos expressar
em função de
. Para isso, precisamos inverter a matriz de rotação. A inversa de
é:
Passo 6
Então, a matriz inversa para
é:
Passo 7
Vamos agora aplicar essa matriz aos pontos
e
.
Para
:
[
= R(-30^\circ)
]
Para
:
[
= R(-30^\circ)
]
Resposta
Após girar os eixos em
no sentido anti-horário, as novas coordenadas são:
- Ponto
: - Ponto
: