Verifique se é verdadeiro ou falso. JUSTIFIQUE sua resposta.
Existe um função
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais que
e
.
Existe um função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão diz que existe uma função
que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, e nos fornece as derivadas parciais de primeira ordem:
A gente precisa verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar usar o teorema de igualdade das derivadas mistas, que diz que, se as segundas derivadas parciais de uma função são contínuas, então:
Ou seja, a derivada da derivada parcial em
depois em
deve ser igual à derivada da derivada parcial em
depois em
. Se isso acontecer, a função
existe; caso contrário, não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
. Sabemos que:
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
. Sabemos que:
Então,
Passo 4
Agora que temos
e
, vamos comparar esses resultados. Para que a função
exista com as derivadas parciais fornecidas, precisamos que
para todos os valores de
e
.
No nosso caso:
Isso só é verdadeiro quando
, mas a igualdade precisa valer para todos os
, o que não acontece.
Resposta
Falso. As derivadas mistas
e
não são iguais para todos os
, então tal função
não existe.
Exercícios relacionados
Obtenha o limite:
[Exercício sobre derivada direcional] Calcule
, em que
e
é o versor de
.
Verifique se é verdadeiro ou falso. JUSTIFIQUE sua resposta.
.
Determine os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela de
,
.