Verifique se é verdadeiro ou falso. JUSTIFIQUE sua resposta.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a seguinte expressão é verdadeira ou falsa:
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais de funções de duas variáveis. Precisamos entender o que é uma derivada parcial e como ela é definida para resolver essa questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a uma das variáveis, digamos
, mede como a função muda quando alteramos
mantendo
fixo.
A definição formal da derivada parcial de
em relação a
no ponto
é:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa definição com a expressão dada no exercício:
Perceba que na nossa definição padrão, usamos
tendendo a 0, representando uma pequena variação. No exercício, usamos
tendendo a
, o que essencialmente significa que
está se aproximando de
por meio de pequenas variações, similar a
.
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para deixar mais claro. Seja
. Então, quando
tende a
,
tende a 0. Substituindo na expressão do exercício:
Viu só? Essa é exatamente a definição da derivada parcial de
em relação a
no ponto
.
Passo 5
Portanto, a expressão dada no exercício está correta e corresponde à definição padrão da derivada parcial de
em relação a
no ponto
.
Resposta
Verdadeiro. A expressão apresentada corresponde à definição da derivada parcial de
em relação a
no ponto
.
Exercícios relacionados
Verifique se é verdadeiro ou falso. JUSTIFIQUE sua resposta.
Existe um função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, tais que
e
.
Existe um função
Obtenha o limite:
Determine os pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela de
,
.
Seja a curva
parametrizada por
. Calcule o comprimento de
.