Determine para quais pontos (x0, f(x0)) a reta tangente ao gráfico da função f é paralela ao eixo das abcissas.
f(x) = (1/5) x^5 - (4/3) x^3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e queremos descobrir em quais pontos a reta tangente ao gráfico dessa função é paralela ao eixo das abscissas (eixo ). Quando a reta tangente é paralela ao eixo , isso significa que a inclinação dessa reta é zero.

Passo 2

Para encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto da função.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Aplicando as regras de derivação:

Passo 4

Agora, queremos que a inclinação da reta tangente seja zero. Então, igualamos a derivada a zero e resolvemos para :
Vamos fatorar a expressão:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Agora que temos os valores de onde a derivada é zero ( ), vamos calcular para cada um desses pontos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As retas tangentes ao gráfico da função são paralelas ao eixo das abscissas nos seguintes pontos:

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