Determine, se possível, as constantes e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto , sendo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores das constantes e que fazem a função ser contínua no ponto . A função está definida por partes:
Vamos precisar usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que, para a função ser contínua em um ponto, o limite da função quando se aproxima desse ponto tem que ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em . Isso quer dizer que:
Ou seja, o limite da função quando se aproxima de 1 deve ser igual ao valor da função em .

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 1. Como a função é definida por partes, para , temos . Então:

Passo 4

Agora, sabemos que . Para que a função seja contínua em , devemos ter:

Passo 5

Agora, temos uma equação para resolver:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 6

Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são:

Passo 7

Encontramos dois valores para : e .
No entanto, o enunciado também menciona uma constante , mas ela não aparece na definição da função . Isso pode ser um erro no enunciado. Como a função só envolve , vamos considerar apenas os valores de encontrados.

Resposta

As constantes que tornam a função contínua em são e .

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(e)
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo: