Determine, se possível, as constantes
e
de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto
, sendo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores das constantes
e
que fazem a função
ser contínua no ponto
. A função está definida por partes:
Vamos precisar usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que, para a função ser contínua em um ponto, o limite da função quando
se aproxima desse ponto tem que ser igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em
. Isso quer dizer que:
Ou seja, o limite da função quando
se aproxima de 1 deve ser igual ao valor da função em
.
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 1. Como a função é definida por partes, para
, temos
. Então:
Passo 4
Agora, sabemos que
. Para que a função seja contínua em
, devemos ter:
Passo 5
Agora, temos uma equação para resolver:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 6
Fatorando a equação quadrática:
Então, as soluções são:
Passo 7
Encontramos dois valores para
:
e
.
No entanto, o enunciado também menciona uma constante
, mas ela não aparece na definição da função
. Isso pode ser um erro no enunciado. Como a função só envolve
, vamos considerar apenas os valores de
encontrados.
Resposta
As constantes que tornam a função contínua em
são
e
.
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b) Determine
e
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c) Existe
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(e)
(e)
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo: