a) Faça o gráfico de
b) Determine e
c) Existe ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou tem três partes: primeiro, fazer o gráfico de uma função definida por partes; depois, calcular os limites laterais dessa função quando se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda; e por último, verificar se o limite geral existe. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como funcionam funções definidas por partes e os conceitos de limites laterais.

Passo 2

Vamos começar com a parte a), que é fazer o gráfico da função:
Entendendo a função:
  • Para : a função é , que é uma parábola voltada para baixo.
  • Para : a função tem o valor .
Como desenhar o gráfico:
  1. Desenhe a parábola . Essa parábola tem o vértice no ponto e cruza o eixo nos pontos e .
  2. Trate : Na parábola, quando , . Mas, como na definição da função, em o valor é . Então, no gráfico:
    • Marque um círculo aberto no ponto para indicar que esse ponto não está incluído na parábola.
    • Monte um ponto fechado em para mostrar que nesse ponto específico, .
Pronto! Agora você tem o gráfico da função, que é basicamente uma parábola com um ponto separado em .

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): determinar e .
Calculando o limite pela direita ( ):
  • O que significa ? Significa que está se aproximando de 1 vindo de valores maiores que 1.
  • Para , a função é .
  • Substituindo na expressão :
Então, .

Passo 4

Calculando o limite pela esquerda ( ):
  • O que significa ? Significa que está se aproximando de 1 vindo de valores menores que 1.
  • Para , a função também é .
  • Substituindo na expressão :
Então, .

Passo 5

Agora, na parte c), queremos saber se existe.
Para que o limite geral exista, os limites laterais devem ser iguais.
  • Vimos que .
  • E que .
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 0.

Resposta

a) O gráfico de é uma parábola com um ponto isolado em onde .
b) e .
c) Existe e ele é igual a 0.

Exercícios relacionados

Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(e)
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
Determine, se possível, as constantes e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto , sendo:
Calcule os limites abaixo: