a) Faça o gráfico de
b) Determine
e
c) Existe
? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?
c) Existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou tem três partes: primeiro, fazer o gráfico de uma função definida por partes; depois, calcular os limites laterais dessa função quando
se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda; e por último, verificar se o limite geral existe. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender como funcionam funções definidas por partes e os conceitos de limites laterais.
Passo 2
Vamos começar com a parte a), que é fazer o gráfico da função:
Entendendo a função:
- Para
: a função é , que é uma parábola voltada para baixo. - Para
: a função tem o valor .
Como desenhar o gráfico:
- Desenhe a parábola
. Essa parábola tem o vértice no ponto e cruza o eixo nos pontos e . - Trate
: Na parábola, quando , . Mas, como na definição da função, em o valor é . Então, no gráfico: - Marque um círculo aberto no ponto
para indicar que esse ponto não está incluído na parábola. - Monte um ponto fechado em
para mostrar que nesse ponto específico, .
- Marque um círculo aberto no ponto
Pronto! Agora você tem o gráfico da função, que é basicamente uma parábola com um ponto separado em
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): determinar
e
.
Calculando o limite pela direita (
):
- O que significa
? Significa que está se aproximando de 1 vindo de valores maiores que 1. - Para
, a função é . - Substituindo
na expressão :
Então,
.
Passo 4
Calculando o limite pela esquerda (
):
- O que significa
? Significa que está se aproximando de 1 vindo de valores menores que 1. - Para
, a função também é . - Substituindo
na expressão :
Então,
.
Passo 5
Agora, na parte c), queremos saber se
existe.
Para que o limite geral exista, os limites laterais devem ser iguais.
- Vimos que
. - E que
.
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral existe e é igual a 0.
Resposta
a) O gráfico de
é uma parábola
com um ponto isolado em
onde
.
b)
e
.
c) Existe
e ele é igual a 0.
Exercícios relacionados
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(e)
(e)
Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
Determine, se possível, as constantes
e
de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto
, sendo:
Calcule os limites abaixo: