A reta x+y+12=0 é tangente a um círculo C de centro (-2,-4). Calcule a área do disco delimitado por C.

Passo 1

Então, a gente tem uma reta dada pela equação x + y + 12 = 0 que toca exatamente (é tangente) um círculo C que tem centro em (-2, -4). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a área desse círculo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a distância entre um ponto e uma reta, já que essa distância vai nos dar o raio do círculo. Depois, com o raio em mãos, a gente calcula a área do disco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre um ponto e uma reta. A fórmula para a distância d entre um ponto (x0, y0) e uma reta dada por Ax + By + C = 0 é:
d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2

Passo 3

No nosso caso, a reta é x + y + 12 = 0, então os coeficientes são A = 1, B = 1 e C = 12. O centro do círculo é o ponto (-2, -4), ou seja, x0 = -2 e y0 = -4.

Passo 4

Vamos substituir esses valores na fórmula da distância:
d = |1 times (-2) + 1 times (-4) + 12|raiz1^2 + 1^2 = |-2 -4 +12|raiz2 = |6|raiz2 = 6raiz2 = 3raiz2
Então, o raio r do círculo é 3raiz2.

Passo 5

Agora, para encontrar a área A do disco, usamos a fórmula da área do círculo:
A = pi r^2
Substituindo o valor do raio:
A = pi (3raiz2)^2 = pi times 9 times 2 = 18pi

Resposta

A área do disco delimitado pelo círculo C é 18pi unidades de área.

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