Calcule o perímetro do triângulo determinado pelas retas
e
. Determine sua altura em relação à reta
e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o perímetro de um triângulo formado por três retas: $ y = 2x + 1 $, $ 2y = x - 1 $ e $ y + x = 1 $. Além disso, precisamos determinar a altura em relação à reta $ y + x = 1 $ e calcular a área desse triângulo.
Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção de retas, calcular distâncias entre pontos e aplicar fórmulas de área de triângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os três vértices do triângulo, que são os pontos de interseção das três retas.
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Interseção de $ y = 2x + 1 $ e $ 2y = x - 1 $:Vamos resolver esse sistema de equações:Substituindo $ y $ da primeira equação na segunda:Agora, substituindo $ x = -1 $ na primeira equação:Portanto, o primeiro vértice é $ A(-1, -1) $.
Passo 3
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Interseção de $ y = 2x + 1 $ e $ y + x = 1 $:Vamos resolver esse sistema:Substituindo $ y $ na segunda equação:Agora, substituindo $ x = 0 $ na primeira equação:Portanto, o segundo vértice é $ B(0, 1) $.
Passo 4
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Interseção de $ 2y = x - 1 $ e $ y + x = 1 $:Vamos resolver esse sistema:Da primeira equação, podemos expressar $ x $:Substituindo na segunda equação:Agora, substituindo $ y = 0 $ na expressão de $ x $:Portanto, o terceiro vértice é $ C(1, 0) $.
Passo 5
Agora que temos os três vértices $ A(-1, -1) $, $ B(0, 1) $ e $ C(1, 0) $, vamos calcular as distâncias entre eles para encontrar os lados do triângulo.
A fórmula para a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Vamos calcular cada lado:
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Lado AB:
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Lado BC:
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Lado CA:
Passo 6
Para encontrar o perímetro do triângulo, basta somar os comprimentos dos seus lados:
Passo 7
Agora, vamos determinar a altura do triângulo em relação à reta $ y + x = 1 $.
Primeiro, identificamos que a base do triângulo será o lado que está sobre a reta $ y + x = 1 $. Observando nossos vértices, esse lado é $ BC $, que vai de $ B(0,1) $ a $ C(1,0) $.
A altura será a distância do vértice $ A(-1, -1) $ até a reta $ y + x = 1 $.
A fórmula para calcular a distância de um ponto $ (x_0, y_0) $ até uma reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
Vamos reescrever a equação da reta $ y + x = 1 $ na forma $ Ax + By + C = 0 $:
Aqui, $ A = 1 $, $ B = 1 $, e $ C = -1 $.
Substituindo o ponto $ A(-1, -1) $ na fórmula:
Passo 8
Para calcular a área do triângulo, usamos a fórmula:
Já temos a base $ d_{BC} \approx 1,41 $ unidades e a altura $ d \approx 2,12 $ unidades.
Resposta
O perímetro do triângulo é aproximadamente 5,89 unidades, a altura em relação à reta $ y + x = 1 $ é cerca de 2,12 unidades e a área do triângulo é aproximadamente 1,50 unidades quadradas.