Calcule o perímetro do triângulo determinado pelas retas y=2 x+1,2 y=x-1 e y+x=1. Determine sua altura em relação à reta y+x=1 e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o perímetro de um triângulo formado por três retas: $ y = 2x + 1 $, $ 2y = x - 1 $ e $ y + x = 1 $. Além disso, precisamos determinar a altura em relação à reta $ y + x = 1 $ e calcular a área desse triângulo.
Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, como encontrar pontos de interseção de retas, calcular distâncias entre pontos e aplicar fórmulas de área de triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os três vértices do triângulo, que são os pontos de interseção das três retas.
  1. Interseção de $ y = 2x + 1 $ e $ 2y = x - 1 $:
    Vamos resolver esse sistema de equações:
    y = 2x + 1
    Substituindo $ y $ da primeira equação na segunda:
    2y = x - 1
    Agora, substituindo $ x = -1 $ na primeira equação:
    y = 2x + 1 2y = x - 1
    Portanto, o primeiro vértice é $ A(-1, -1) $.

Passo 3

  1. Interseção de $ y = 2x + 1 $ e $ y + x = 1 $:
    Vamos resolver esse sistema:
    y = 2x + 1
    Substituindo $ y $ na segunda equação:
    y + x = 1
    Agora, substituindo $ x = 0 $ na primeira equação:
    y = 2x + 1 y + x = 1
    Portanto, o segundo vértice é $ B(0, 1) $.

Passo 4

  1. Interseção de $ 2y = x - 1 $ e $ y + x = 1 $:
    Vamos resolver esse sistema:
    2y = x - 1
    Da primeira equação, podemos expressar $ x $:
    y + x = 1
    Substituindo na segunda equação:
    2y = x - 1 y + x = 1
    Agora, substituindo $ y = 0 $ na expressão de $ x $:
    x
    Portanto, o terceiro vértice é $ C(1, 0) $.

Passo 5

Agora que temos os três vértices $ A(-1, -1) $, $ B(0, 1) $ e $ C(1, 0) $, vamos calcular as distâncias entre eles para encontrar os lados do triângulo.
A fórmula para a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
A(-1, -1)
Vamos calcular cada lado:
  1. Lado AB:
    B(0, 1)
  2. Lado BC:
    C(1, 0)
  3. Lado CA:
    (x1, y1)

Passo 6

Para encontrar o perímetro do triângulo, basta somar os comprimentos dos seus lados:
P = dAB + dBC + dCA approx 2,24 + 1,41 + 2,24 = 5,89 , unidades

Passo 7

Agora, vamos determinar a altura do triângulo em relação à reta $ y + x = 1 $.
Primeiro, identificamos que a base do triângulo será o lado que está sobre a reta $ y + x = 1 $. Observando nossos vértices, esse lado é $ BC $, que vai de $ B(0,1) $ a $ C(1,0) $.
A altura será a distância do vértice $ A(-1, -1) $ até a reta $ y + x = 1 $.
A fórmula para calcular a distância de um ponto $ (x_0, y_0) $ até uma reta $ Ax + By + C = 0 $ é:
y + x = 1
Vamos reescrever a equação da reta $ y + x = 1 $ na forma $ Ax + By + C = 0 $:
y + x = 1
Aqui, $ A = 1 $, $ B = 1 $, e $ C = -1 $.
Substituindo o ponto $ A(-1, -1) $ na fórmula:
BC

Passo 8

Para calcular a área do triângulo, usamos a fórmula:
Área = 12 times base times aÁ
Já temos a base $ d_{BC} \approx 1,41 $ unidades e a altura $ d \approx 2,12 $ unidades.
dBC approx 1,41 Á

Resposta

O perímetro do triângulo é aproximadamente 5,89 unidades, a altura em relação à reta $ y + x = 1 $ é cerca de 2,12 unidades e a área do triângulo é aproximadamente 1,50 unidades quadradas.

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