Seja um espaço vetorial com produto interno . Dado um isomorfismo , defina para qualquer . Prove que é um produto interno em .
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois espaços vetoriais: e , onde possui um produto interno . Também é dado um isomorfismo , que é uma função linear bijetora entre esses espaços. Definimos um novo produto para quaisquer . Nossa tarefa é provar que esse novo produto é um produto interno em . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de produto interno, isomorfismo de espaços vetoriais e verificar as propriedades que caracterizam um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que, para quaisquer vetores no espaço, satisfaz as seguintes propriedades:
Positividade definida: e se e somente se .
Linearidade no primeiro argumento: Para qualquer no espaço e escalar , temos .
Simetria: .
Para mostrar que é um produto interno, precisamos verificar que essas três propriedades são satisfeitas para .
Passo 3
Propriedade 1: Positividade definida
Vamos verificar que e que se e somente se .
Como e é um produto interno em , sabemos que .
Além disso, se e somente se . Mas é um isomorfismo, ou seja, é bijetor e, portanto, implica que . Portanto, a propriedade de positividade definida está satisfeita.
Passo 4
Propriedade 2: Linearidade no primeiro argumento
Queremos mostrar que para quaisquer e escalar , temos:
Vamos calcular:
Como é linear, temos . Então:
Portanto, a propriedade de linearidade no primeiro argumento está satisfeita.
Passo 5
Propriedade 3: Simetria
Precisamos mostrar que para quaisquer .
Calculemos:
Como o produto interno em é simétrico, temos , ou seja, .
Portanto, a propriedade de simetria está satisfeita.
Resposta
Assim, verificamos que satisfaz todas as propriedades de um produto interno. Portanto, é um produto interno em .