Determine o potencial elétrico devido a uma linha de cargas infinita homogênea para qualquer ponto do espaço localizado a uma distancia
desta linha, tomando como referencia
a distancia
. Obtenha a equação das respectivas superfícies equipotenciais. Seria possível adotar
no infinito? Porque?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário. Precisamos determinar o potencial elétrico gerado por uma linha de carga infinita e homogênea em qualquer ponto do espaço a uma distância
dessa linha. Além disso, devemos considerar que o potencial
na distância
. Também vamos encontrar a equação das superfícies equipotenciais e discutir se podemos definir
no infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente o cálculo do potencial elétrico devido a uma distribuição contínua de carga. Precisaremos das fórmulas para o potencial elétrico e entender como trabalhar com simetria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
em um ponto devido a uma linha de carga infinita pode ser encontrado integrando a contribuição de pequenas partes da linha de carga. A linha de carga tem uma densidade linear de carga
(carga por unidade de comprimento).
A fórmula geral para o potencial elétrico devido a uma linha de carga infinita é:
Aqui,
é a permissividade do vácuo,
é a distância do ponto à linha de carga, e
é a distância de referência onde escolhemos
.
Passo 3
Vamos entender de onde vem essa fórmula. Considerando a simetria cilíndrica da situação (a linha de carga é infinita e uniforme), sabemos que o potencial só depende da distância radial
a partir da linha.
O diferencial de potencial devido a um pequeno elemento de carga
em distância
é:
Integrando ao longo de toda a linha de carga, obtemos:
Como escolhemos
, simplificamos para:
Passo 4
Agora, vamos determinar as superfícies equipotenciais, ou seja, as regiões do espaço onde o potencial elétrico
é constante.
Da equação do potencial:
Podemos reescrever isso como:
Elevando
dos dois lados:
Isso mostra que as superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos em torno da linha de carga, ou seja, cilindros de raio constante
.
Passo 5
Por último, vamos considerar se é possível adotar
no infinito.
Observando a expressão do potencial:
Ao fazer
tende ao infinito:
Isso significa que o potencial elétrico cresce sem limite à medida que nos afastamos da linha de carga. Portanto, não é possível definir
no infinito para uma linha de carga infinita, porque o potencial não se aproxima de zero, mas sim tende ao infinito.
Resposta
O potencial elétrico devido a uma linha de carga infinita homogênea é dado por:
As superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos ao redor da linha de carga, com equação
. Além disso, não é possível adotar
no infinito porque o potencial tende ao infinito conforme
cresce.
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e
estão carregados com
e
, respectivamente. Se a linha
estiver carregada com
, determinar o campo elétrico em (
) devido à tais distribuições de carga.
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e carga
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Se
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Se
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