Os planos x=2 e y=-3 estão carregados com 10 nC / m^2 e 15 nC / m^2, respectivamente. Se a linha x=0, z=2 estiver carregada com 10 pi nC / m, determinar o campo elétrico em ( 1,1,-1 ) devido à tais distribuições de carga.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de campo elétrico juntos! O enunciado nos pede para encontrar o campo elétrico no ponto (1,1,-1) causado por duas distribuições de carga em planos e uma linha carregada. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas para campo elétrico devido a planos infinitos e a uma linha de carga infinita. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado. A fórmula para o campo elétrico de um plano com densidade superficial de carga sigma é:
E = sigma2varepsilon0
onde varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo. Esse campo é perpendicular ao plano e sua direção depende do sinal da carga.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos dois planos dados:
  1. Plano x=2: Tem uma densidade de carga de 10,nC/m^2. O campo elétrico produzido por esse plano será na direção positiva ou negativa de x, dependendo do sinal da carga. Como a carga é positiva, o campo sai do plano na direção positiva de x.
  2. Plano y=-3: Tem uma densidade de carga de 15,nC/m^2. Similarmente, como a carga é positiva, o campo sai do plano na direção positiva de y.
Então, vamos calcular cada um:
Ex = 10 times 10^-9,C/m^22 times 8,85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2) approx 5,65 times 10^3,N/C
Ey = 15 times 10^-9,C/m^22 times 8,85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2) approx 8,48 times 10^3,N/C

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à linha carregada. A fórmula para o campo elétrico de uma linha infinita com densidade linear de carga lambda é:
E = lambda2pivarepsilon0 r
onde r é a distância do ponto à linha.
Dada a linha x=0, z=2 com lambda = 10pi,nC/m, vamos encontrar a distância do ponto (1,1,-1) a essa linha. A linha está no plano x=0 e z=2, então a distância é a diferença nas coordenadas y e z:
r = raiz(1-0)^2 + (-1-2)^2 = raiz1 + 9 = raiz10,m
Agora, calculamos o campo:
Elinha = 10pi times 10^-9,C/m2pi times 8,85 times 10^-12,C^2/(N cdot m^2) times raiz10 approx 1,80 times 10^3,N/C
A direção desse campo é radial em relação à linha, ou seja, aponta do ponto para a linha ou vice-versa. Como a carga é positiva, o campo aponta para fora da linha.

Passo 5

Agora, vamos somar vetorialmente todos os campos elétricos calculados:
Etotal = Ex + Ey + Elinha
Considerando as direções:
  • Ex está na direção positiva de x: (5,65 times 10^3, 0, 0),N/C
  • Ey está na direção positiva de y: (0, 8,48 times 10^3, 0),N/C
  • Elinha tem componentes em y e z. Como a linha está em x=0, z=2, e o ponto é (1,1,-1), o campo terá componentes negativas em z e positivas em y.
Vamos decompor Elinha:
Ey,linha = Elinha times 1raiz10 approx 1,80 times 10^3 times 0,316 approx 5,68 times 10^2,N/C
Ez,linha = -Elinha times 3raiz10 approx -1,80 times 10^3 times 0,949 approx -1,71 times 10^3,N/C
Somando todas as componentes:
Ex,total = 5,65 times 10^3,N/C
Ey,total = 8,48 times 10^3 + 5,68 times 10^2 = 8,48 times 10^3 + 0,568 times 10^3 approx 9,05 times 10^3,N/C
Ez,total = -1,71 times 10^3,N/C

Resposta

O campo elétrico no ponto (1,1,-1) é aproximadamente:
Etotal = (5,65 times 10^3,i + 9,05 times 10^3,j - 1,71 times 10^3,k),N/C

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