Os planos
e
estão carregados com
e
, respectivamente. Se a linha
estiver carregada com
, determinar o campo elétrico em (
) devido à tais distribuições de carga.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de campo elétrico juntos! O enunciado nos pede para encontrar o campo elétrico no ponto (1,1,-1) causado por duas distribuições de carga em planos e uma linha carregada. Para isso, vamos precisar conhecer as fórmulas para campo elétrico devido a planos infinitos e a uma linha de carga infinita. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo elétrico gerado por um plano infinito carregado. A fórmula para o campo elétrico de um plano com densidade superficial de carga
é:
onde
é a constante de permissividade do vácuo. Esse campo é perpendicular ao plano e sua direção depende do sinal da carga.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso aos dois planos dados:
-
Plano
: Tem uma densidade de carga de . O campo elétrico produzido por esse plano será na direção positiva ou negativa de x, dependendo do sinal da carga. Como a carga é positiva, o campo sai do plano na direção positiva de x. -
Plano
: Tem uma densidade de carga de . Similarmente, como a carga é positiva, o campo sai do plano na direção positiva de y.
Então, vamos calcular cada um:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico devido à linha carregada. A fórmula para o campo elétrico de uma linha infinita com densidade linear de carga
é:
onde
é a distância do ponto à linha.
Dada a linha
,
com
, vamos encontrar a distância do ponto (1,1,-1) a essa linha. A linha está no plano
e
, então a distância é a diferença nas coordenadas y e z:
Agora, calculamos o campo:
A direção desse campo é radial em relação à linha, ou seja, aponta do ponto para a linha ou vice-versa. Como a carga é positiva, o campo aponta para fora da linha.
Passo 5
Agora, vamos somar vetorialmente todos os campos elétricos calculados:
Considerando as direções:
-
está na direção positiva de x: -
está na direção positiva de y: -
tem componentes em y e z. Como a linha está em , , e o ponto é (1,1,-1), o campo terá componentes negativas em z e positivas em y.
Vamos decompor
:
Somando todas as componentes:
Resposta
O campo elétrico no ponto (1,1,-1) é aproximadamente:
Exercícios relacionados
Duas cargas pontuais de mesma massa
e carga
estão suspensas em um ponto comum por dois fios de massa desprezível e comprimento
. Demonstre que, na situação de equilíbrio, o ângulo de inclinação
de cada um dos fios em relação à vertical é dado por:
Se
é muito pequeno, demonstre que:
Aplicando a lei de Gauss, demonstre que a força eletrostática que agiria sobre uma carga pontual localizada no interior de uma casca esférica uniformemente carregada de raio a é nula. Compare tal resultado com o obtido na questão 4.
Determine o potencial elétrico devido a uma linha de cargas infinita homogênea para qualquer ponto do espaço localizado a uma distancia
desta linha, tomando como referencia
a distancia
. Obtenha a equação das respectivas superfícies equipotenciais. Seria possível adotar
no infinito? Porque?
Se
, calcule a corrente que passa através de: (a) uma casca hemisférica de raio de 20 cm e (b) uma casca esférica de raio 10 cm .