Determine o potencial elétrico produzido por uma esfera homogênea de raio R, contendo uma distribuição de cargas uniforme para todos os pontos do interior da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o potencial elétrico gerado por uma esfera homogênea de raio com carga distribuída de maneira uniforme por todo o seu interior. Isso envolve conceitos de eletrostática, especialmente de campo elétrico e potencial elétrico. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, em seguida, integrar esse campo para achar o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico dentro da esfera. Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga rho = Q43pi R^3 é constante e dada por:
onde é a carga total da esfera.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss dentro da esfera, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio PhiE = E cdot 4pi r^2 menor que PhiE = Qdentrovarepsilon0 . O fluxo elétrico é:
E, pela Lei de Gauss:
onde .

Passo 4

Igualando as expressões do fluxo:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3varepsilon0
Simplificando, temos o campo elétrico dentro da esfera:
E = rho r3varepsilon0

Passo 5

Agora, vamos encontrar o campo elétrico fora da esfera. Para E = Q4pi varepsilon0 r^2 , todo o fluxo elétrico envolve a carga total , então:
Isso é igual ao campo de uma carga pontual no centro da esfera.

Passo 6

Agora que temos o campo elétrico em todas as regiões, vamos calcular o potencial elétrico. Sabemos que o potencial é obtido integrando o campo elétrico:
V(r) = -integral E , dr
Vamos considerar o potencial sendo zero no infinito.

Passo 7

Para V(r) = Q4pi varepsilon0 r :

Passo 8

Para V(r) = Q4pi varepsilon0 R (32 - r^22R^2) , integrando o campo dentro da esfera:
Isso leva em conta a continuidade do potencial na superfície da esfera.

Resposta

O potencial elétrico V(r) = Q4pi varepsilon0 R (32 - r^22R^2) & para r <= R Q4pi varepsilon0 r & para r >= R produzido pela esfera homogênea é dado por:

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