Determine o potencial elétrico produzido por uma esfera homogênea de raio , contendo uma distribuição de cargas uniforme para todos os pontos do interior da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o potencial elétrico gerado por uma esfera homogênea de raio com carga distribuída de maneira uniforme por todo o seu interior. Isso envolve conceitos de eletrostática, especialmente de campo elétrico e potencial elétrico. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico e, em seguida, integrar esse campo para achar o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico dentro da esfera. Como a carga está distribuída uniformemente, a densidade de carga é constante e dada por:
onde é a carga total da esfera.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss dentro da esfera, consideramos uma superfície gaussiana esférica de raio menor que . O fluxo elétrico é:
E, pela Lei de Gauss:
onde .
Passo 4
Igualando as expressões do fluxo:
Simplificando, temos o campo elétrico dentro da esfera:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o campo elétrico fora da esfera. Para , todo o fluxo elétrico envolve a carga total , então:
Isso é igual ao campo de uma carga pontual no centro da esfera.
Passo 6
Agora que temos o campo elétrico em todas as regiões, vamos calcular o potencial elétrico. Sabemos que o potencial é obtido integrando o campo elétrico:
Vamos considerar o potencial sendo zero no infinito.
Passo 7
Para :
Passo 8
Para , integrando o campo dentro da esfera:
Isso leva em conta a continuidade do potencial na superfície da esfera.
Resposta
O potencial elétrico produzido pela esfera homogênea é dado por: