Determine f', f'' e f''' f(x) = { x^2 + 3x se x <= 1; 5x - 1 se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a primeira, segunda e terceira derivadas da função que é definida de forma diferente dependendo do valor de . Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções por partes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas de cada parte da função separadamente e verificar o que acontece no ponto onde a definição muda, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
Vamos calcular a primeira derivada de cada parte.

Passo 3

Para :
A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 4

Para :
A derivada de é e a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade da primeira derivada em . Calculamos de cada lado:
Para :
Para :
Como os valores são iguais, a primeira derivada é contínua em .

Passo 6

Segunda derivada :
Para :
A derivada de é e a derivada de é . Então:
Para :
A derivada de é . Então:

Passo 7

Verificamos a continuidade da segunda derivada em :
Para :
Para :
Como os valores são diferentes, a segunda derivada tem uma descontinuidade em .

Passo 8

Terceira derivada :
Para :
A derivada de é . Então:
Para :
A derivada de é . Então:

Resposta

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