Determine
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a primeira, segunda e terceira derivadas da função
que é definida de forma diferente dependendo do valor de
. Isso envolve o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções por partes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas de cada parte da função separadamente e verificar o que acontece no ponto onde a definição muda, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
Vamos calcular a primeira derivada
de cada parte.
Passo 3
Para
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 4
Para
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade da primeira derivada em
. Calculamos
de cada lado:
Para
:
Para
:
Como os valores são iguais, a primeira derivada é contínua em
.
Passo 6
Segunda derivada
:
Para
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Então:
Para
:
A derivada de
é
. Então:
Passo 7
Verificamos a continuidade da segunda derivada em
:
Para
:
Para
:
Como os valores são diferentes, a segunda derivada tem uma descontinuidade em
.
Passo 8
Terceira derivada
:
Para
:
A derivada de
é
. Então:
Para
:
A derivada de
é
. Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido obtido quando a região situada sob a curva
acima do eixo
, é rotacionada em torno da reta
.
Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
(a) , com
;
(b) e
, com
;
© e
, com
;
(d) e
;
(e) , com
;
(f) , com
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
;
Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.