Determine o volume do sólido obtido quando a região situada sob a curva
acima do eixo
, é rotacionada em torno da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido formado quando a região abaixo da curva
e acima do eixo
, para
, é girada em torno da reta
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos anéis (ou método dos discos), que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
para
está sempre acima do eixo
porque
é sempre positivo. Agora, quando giramos essa região em torno da reta
, estamos basicamente criando um sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos anéis, que envolve integrar a área de anéis infinitesimais que formam o sólido.
Passo 3
No método dos anéis, a área de cada anel é dada por
, onde:
-
é o raio externo (a distância da reta de rotação até a parte mais externa do anel). -
é o raio interno (a distância da reta de rotação até a parte mais interna do anel).
No nosso caso:
- A distância da reta
até o eixo (onde ) é . - A distância da reta
até a curva é .
Passo 4
Agora, a área de cada anel fica:
Vamos simplificar essa expressão:
Então:
Passo 5
Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa expressão de
até
:
Vamos resolver essa integral:
Sabendo que:
Aplicando os limites:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
(a) , com
;
(b) e
, com
;
© e
, com
;
(d) e
;
(e) , com
;
(f) , com
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Seja
a porção da região simultaneamente interior às curvas
e
que está situada no exterior da curva
. Escreva as integrais que permitem calcular:
(a) a área da região ;
(b) o comprimento de arco da fronteira da região .
(a) a área da região
(b) o comprimento de arco da fronteira da região
Determine
e
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
;