Determine o volume do sólido obtido quando a região situada sob a curva acima do eixo , é rotacionada em torno da reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido formado quando a região abaixo da curva e acima do eixo , para , é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos anéis (ou método dos discos), que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva para está sempre acima do eixo porque é sempre positivo. Agora, quando giramos essa região em torno da reta , estamos basicamente criando um sólido de revolução. Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos anéis, que envolve integrar a área de anéis infinitesimais que formam o sólido.

Passo 3

No método dos anéis, a área de cada anel é dada por , onde:
  • é o raio externo (a distância da reta de rotação até a parte mais externa do anel).
  • é o raio interno (a distância da reta de rotação até a parte mais interna do anel).
No nosso caso:
  • A distância da reta até o eixo (onde ) é .
  • A distância da reta até a curva é .

Passo 4

Agora, a área de cada anel fica:
Vamos simplificar essa expressão:
Então:

Passo 5

Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa expressão de até :
Vamos resolver essa integral:
Sabendo que:
Aplicando os limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule o comprimento de arco das curvas dadas por:
(a) , com ;
(b) e , com ;
© e , com ;
(d) e ;
(e) , com ;
(f) , com .
Seja a porção da região simultaneamente interior às curvas e que está situada no exterior da curva . Escreva as integrais que permitem calcular:
(a) a área da região ;
(b) o comprimento de arco da fronteira da região .
Determine e
Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: ;