Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazer a substituição
em uma Equação Diferencial Ordinária (EDO). A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente substituições em EDOs para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar
em relação a
usando a substituição dada e então reescrever a EDO com as novas variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a substituição
. Isso significa que
é igual a
dividido pela raiz quadrada de
. Para reescrever a EDO, precisamos expressar a derivada de
em relação a
usando
e sua derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia, temos:
Aqui, derivamos
em relação a
e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na EDO original. Sem a EDO original específica, vamos considerar uma EDO genérica da forma:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Para obter a EDO correspondente em termos de
e
, isolamos
:
Resposta
A EDO correspondente nas variáveis
e
após a substituição
é:
Exercícios relacionados
Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
;
Determine
e
Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
.
Construa um problema de valor inicial que descreva a quantidade de contaminante no lago em função do tempo.