Calcule a equação da reta tangente em
sendo dados:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente no ponto
para a função
quando
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto
. Isso significa que precisamos calcular
.
Sabemos que
porque
de qualquer múltiplo de
é zero. Então:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, ou seja,
, para descobrir a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Vamos derivar cada termo separadamente:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Agora, substituímos
na derivada:
Sabemos que
, já que
. Portanto,
Simplificando,
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente em mãos (
) e conhecendo o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é:
Ou, se preferir na forma reduzida:
Exercícios relacionados
Determine
e
Determine o volume do sólido obtido quando a região situada sob a curva
acima do eixo
, é rotacionada em torno da reta
.
Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.
Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
.