Calcule a equação da reta tangente em sendo dados: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente no ponto para a função quando . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto . Isso significa que precisamos calcular .
Sabemos que porque de qualquer múltiplo de é zero. Então:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , ou seja, , para descobrir a inclinação da reta tangente naquele ponto.
Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. A derivada de é .
  2. A derivada de é .
Então,
Agora, substituímos na derivada:
Sabemos que , já que . Portanto,
Simplificando,

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente em mãos ( ) e conhecendo o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:
Ou, se preferir na forma reduzida:

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Determine e
Determine o volume do sólido obtido quando a região situada sob a curva acima do eixo , é rotacionada em torno da reta .
Faça a substituição e escreva a EDO correspondente nas variáveis e .
Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série converge, então .