Determine uma primitiva da função.
  1. f'(x) = 8x^3 + 1/x, x > 0, f(1) = -3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma primitiva da função para , sabendo que . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente a antiderivada ou primitiva de uma função. Uma primitiva é basicamente a função original antes de ser derivada. Para resolver isso, vamos precisar integrar e depois usar a condição dada para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de .
A integral de uma função é dada por:
onde é a constante de integração que vamos descobrir depois.
Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de em relação a é:
  1. A integral de em relação a é:
Como , podemos simplificar para .
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de usando a condição .
Substituímos na expressão de :
Sabemos que , então:

Passo 4

Com o valor de encontrado, podemos escrever a primitiva completa:

Resposta

A primitiva da função é .

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