Determine uma primitiva da função.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar uma primitiva de uma função derivada. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem trigonometria, como o secante (
) e a tangente (
). Para isso, vamos precisar entender como integrar produtos de funções trigonométricas e aplicar as regras de integrais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função derivada que queremos integrar:
Nosso objetivo é encontrar uma função
cuja derivada seja essa expressão.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a integração:
Então, a integral que precisamos resolver é:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
-
A integral de
em relação a é : -
A integral de
em relação a é :
Então, juntando as duas integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial dada para encontrar o valor de
. Sabemos que
. Vamos substituir
na expressão de
:
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Resolvendo para
:
Resposta
A primitiva da função é: