Determine uma primitiva da função.
  1. f'(t) = sec(t)(sec(t) + tg(t)), -pi/2 < t < pi/2, f(pi/4) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar uma primitiva de uma função derivada. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrando funções que envolvem trigonometria, como o secante ( sec(t)) e a tangente ( tan t). Para isso, vamos precisar entender como integrar produtos de funções trigonométricas e aplicar as regras de integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função derivada que queremos integrar:
Nosso objetivo é encontrar uma função f(t) cuja derivada seja essa expressão.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar a integração:
Então, a integral que precisamos resolver é:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
  1. A integral de em relação a t é tan t:
  2. A integral de em relação a t é sec(t):
Então, juntando as duas integrais:
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial dada para encontrar o valor de C. Sabemos que . Vamos substituir na expressão de f(t):
Calculando os valores trigonométricos:
Substituindo:
Resolvendo para C:

Resposta

A primitiva da função é:

Exercícios relacionados