Determine a probabilidade de se encontrar no máximo 1 defeito em uma chapa de 3 m^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a probabilidade de encontrar no máximo 1 defeito em uma chapa de 3 m². A gente vai usar o conceito de Distribuição de Poisson para resolver isso. A Distribuição de Poisson é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo, como área ou tempo, quando esses eventos acontecem de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Distribuição de Poisson:
P(k) = lambda^k cdot e^-lambdak!
Aqui, é a probabilidade de ocorrer exatamente defeitos, é a taxa média de defeitos na área considerada, e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Como a questão pede a probabilidade de no máximo 1 defeito, vamos calcular P(no máximo 1) = P(0) + P(1) e e somar esses resultados. Ou seja:
á

Passo 4

Vamos calcular P(0) = lambda^0 cdot e^-lambda0! = e^-lambda :
Porque qualquer número elevado a zero é 1, e também é 1.

Passo 5

Agora, vamos calcular P(1) = lambda^1 cdot e^-lambda1! = lambda cdot e^-lambda :
Já que é 1.

Passo 6

Somando as duas probabilidades:
P(no máximo 1) = e^-lambda + lambda cdot e^-lambda = e^-lambda (1 + lambda) á

Passo 7

Agora, precisamos saber qual é o valor de lambda = r cdot 3 para uma área de 3 m². Se soubermos a taxa média de defeitos por metro quadrado, podemos calcular . Suponhamos que a taxa média de defeitos seja defeitos por metro quadrado, então para 3 m²:

Passo 8

Substituindo P(no máximo 1) = e^-3r (1 + 3r) na fórmula da probabilidade:
á

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 1 defeito em uma chapa de 3 m² é:
P(no máximo 1) = e^-3r (1 + 3r) á
Onde é a taxa média de defeitos por metro quadrado.

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