Determine qual a quádrica com a fórmula abaixo e sua orientação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa descobrir que tipo de superfície quadriculada ela representa e qual a sua orientação. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a equação para facilitar a identificação da quadrica. Expandindo o lado esquerdo:
Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação trazendo todos os termos para um lado:
Perceba que os termos
e
se cancelam:
Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Essa equação
é uma das formas canônicas das quadricas. Reconhecemos aqui que ela representa um paraboloide circular. Um paraboloide circular é uma superfície onde se todas as seções paralelas a um plano são círculos, e as seções paralelas a outro plano são parábolas.
Passo 5
Quanto à orientação, vemos que a equação está resolvida para
em função de
e
. Isso indica que o paraboloide está “abrindo” na direção positiva do eixo
. Em outras palavras, o vértice está na origem
e a superfície se estende para cima no eixo
.
Resposta
A equação
representa um paraboloide circular que está orientado de forma a abrir na direção positiva do eixo
.