Determine qual a quádrica com a fórmula abaixo e sua orientação (x-y)^2 = z - 2xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa descobrir que tipo de superfície quadriculada ela representa e qual a sua orientação. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau em três variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a equação para facilitar a identificação da quadrica. Expandindo o lado esquerdo:
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação trazendo todos os termos para um lado:
Perceba que os termos e se cancelam:
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Essa equação é uma das formas canônicas das quadricas. Reconhecemos aqui que ela representa um paraboloide circular. Um paraboloide circular é uma superfície onde se todas as seções paralelas a um plano são círculos, e as seções paralelas a outro plano são parábolas.

Passo 5

Quanto à orientação, vemos que a equação está resolvida para z em função de x e y. Isso indica que o paraboloide está “abrindo” na direção positiva do eixo z. Em outras palavras, o vértice está na origem (0, 0, 0) e a superfície se estende para cima no eixo z.

Resposta

A equação representa um paraboloide circular que está orientado de forma a abrir na direção positiva do eixo z.

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