Mostre que a equação cos(y) y' + 2 x sen(y) = -2 x pode ser transformada numa equaçäo linear e resolva - PVI com y(0)=0. (sugestēo: z = sen(y) )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a equação diferencial:
Estamos lidando com equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição sugerida: . Isso vai ajudar a transformar a equação original numa forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir . Para trabalhar com isso, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Agora, podemos substituir por na equação original:

Passo 3

Agora, nossa equação ficou assim:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
onde e .
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é dado por:

Passo 4

Agora, multiplicamos todos os termos da equação por :
A esquematização da equação com o fator integrante nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, fazemos uma substituição simples:
Deixe , então , ou seja, .
Então:
Assim, temos:

Passo 6

Agora, isolamos :
Lembrando que , então:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial . Vamos encontrar o valor de :
Quando :
Então, a solução fica:

Passo 8

Para encontrar , aplicamos o arco seno:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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