Mostre que a equação
pode ser transformada numa equaçäo linear e resolva - PVI
. (sugestēo:
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta a equação diferencial:
Estamos lidando com equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar fazer uma substituição sugerida: . Isso vai ajudar a transformar a equação original numa forma mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir . Para trabalhar com isso, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Agora, podemos substituir
por
na equação original:
Passo 3
Agora, nossa equação ficou assim:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
onde
e
.
Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante, que é dado por:
Passo 4
Agora, multiplicamos todos os termos da equação por
:
A esquematização da equação com o fator integrante nos permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos uma substituição simples:
Deixe
, então
, ou seja,
.
Então:
Assim, temos:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Lembrando que , então:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
. Vamos encontrar o valor de
:
Quando
:
Então, a solução fica:
Passo 8
Para encontrar
, aplicamos o arco seno:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é: