Calcule a integral tripla
, se
for o paraleleípedo retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos
Resposta: 36
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de uma integral tripla, especificamente
. A gente precisa calcular essa integral dentro de uma região chamada paralelepípedo retangular que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas
,
e
são positivas) e é limitada pelos planos coordenados e pelos planos
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, principalmente integrais múltiplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante e limitados por
,
e
, nossos limites serão:
-
varia de 0 a 2, -
varia de 0 a 3, -
varia de 0 a 4.
Então, nossa integral tripla fica assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Nesse caso,
é constante em relação a
, então a integral em
fica:
Agora, nossa integral se simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a
. A integral fica:
Nossa integral agora é:
Passo 5
Por fim, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla
é 36.
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, em torno do eixo
, obtemos uma superfície de revolução, cuja área é definida pela integral
( para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1, seção 8.2)
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a)
b)
c)
( para maiores detalhes, veja o livro do Stewart vol. 1, seção 8.2)
Calcule a área da superfície de revolução obtida pela rotação em torno de
a)
b)
c)
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.
Mostre que a equação
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. (sugestēo:
)
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