Calcule a integral tripla integral triplaS x y d V, se S for o paraleleípedo retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=3 e z=4 Resposta: 36

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de uma integral tripla, especificamente . A gente precisa calcular essa integral dentro de uma região chamada paralelepípedo retangular que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas , e são positivas) e é limitada pelos planos coordenados e pelos planos , e . Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, principalmente integrais múltiplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante e limitados por integral triplaS x y , dV = integral0^2 integral0^3 integral0^4 x y , dz , dy , dx , e , nossos limites serão:
  • varia de 0 a 2,
  • varia de 0 a 3,
  • varia de 0 a 4.
Então, nossa integral tripla fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a integral0^4 x y , dz = x y integral0^4 dz = x y [z]0^4 = x y (4 - 0) = 4 x y . Nesse caso, integral0^2 integral0^3 4 x y , dy , dx é constante em relação a , então a integral em fica:
Agora, nossa integral se simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^3 4 x y , dy = 4 x integral0^3 y , dy = 4 x [ y^22 ]0^3 = 4 x ( 92 - 0 ) = 4 x cdot 92 = 18 x . A integral fica:
integral0^2 18 x , dx
Nossa integral agora é:

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a integral0^2 18 x , dx = 18 integral0^2 x , dx = 18 [ x^22 ]0^2 = 18 ( 42 - 0 ) = 18 cdot 2 = 36 :

Resposta

O valor da integral tripla é 36.

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