Calcule a integral tripla , se for o paraleleípedo retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos Resposta: 36

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de uma integral tripla, especificamente . A gente precisa calcular essa integral dentro de uma região chamada paralelepípedo retangular que está no primeiro octante (ou seja, onde todas as coordenadas , e são positivas) e é limitada pelos planos coordenados e pelos planos , e . Vamos usar conceitos de cálculo multivariado, principalmente integrais múltiplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante e limitados por , e , nossos limites serão:
  • varia de 0 a 2,
  • varia de 0 a 3,
  • varia de 0 a 4.
Então, nossa integral tripla fica assim:

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . Nesse caso, é constante em relação a , então a integral em fica:
Agora, nossa integral se simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . A integral fica:
Nossa integral agora é:

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é 36.

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