Determine a quantidade de calor transferida de uma das placas para a outra em 10 minutos devido à condutividade térmica do ar.
Suponha que o diâmetro de uma molécula de ar seja aproximadamente 0,3 nme e que a capacidade térmica específica do ar seja dada por
, onde M representa a massa molar do ar cuja densidade é de
.
Suponha que o diâmetro de uma molécula de ar seja aproximadamente 0,3 nme e que a capacidade térmica específica do ar seja dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra em 10 minutos, considerando a condutividade térmica do ar. Isso envolve conceitos de termologia, mais especificamente transferência de calor por condução. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Fourier para condução de calor, além de informações sobre as propriedades do ar fornecidas no enunciado, como o diâmetro das moléculas, a capacidade térmica específica e a densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Fourier, que nos ajuda a calcular a quantidade de calor transferido por condução. A fórmula básica é:
Onde:
-
é a quantidade de calor transferido, -
é a condutividade térmica do material, -
é a área através da qual o calor está sendo transferido, -
é a diferença de temperatura entre as placas, -
é o tempo de transferência, -
é a distância entre as placas.
No entanto, no enunciado, não temos informações sobre a área
, a diferença de temperatura
ou a distância
. Isso significa que provavelmente precisamos determinar a condutividade térmica
usando as propriedades fornecidas do ar e, em seguida, usar uma relação alternativa para encontrar
.
Passo 3
Vamos calcular a condutividade térmica
do ar usando a teoria cinética dos gases. A condutividade térmica pode ser aproximada pela fórmula:
Onde:
-
é a capacidade térmica específica a volume constante, -
é o comprimento médio livre entre colisões das moléculas (ou distância média percorrida entre choques), -
é a velocidade média das moléculas.
Mas, para simplificar, vamos considerar que podemos usar a densidade
e as propriedades fornecidas para calcular
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a massa molar
do ar. Sabemos que a densidade
do ar é
e que a capacidade térmica específica a volume constante é
, onde
é a constante dos gases.
A constante dos gases
é aproximadamente
.
Rearranjando a expressão para
:
No entanto, precisamos de mais informações para determinar
ou
diretamente. Vamos assumir que sabemos o valor da capacidade térmica específica ou usar uma aproximação comum para o ar.
Passo 5
Para o ar seco, uma aproximação comum para a capacidade térmica específica a volume constante é cerca de
.
Agora, podemos usar essa informação para calcular a massa molar
:
Isso nos dá a massa molar do ar como aproximadamente
, o que está de acordo com o valor real do ar seco (~28,97 g/mol).
Passo 6
Agora, vamos determinar o comprimento médio livre
, que é a distância média que uma molécula percorre entre colisões. Podemos calcular
usando a fórmula:
Onde:
-
é a constante de Boltzmann ( ), -
é a temperatura absoluta (vamos assumir ), -
é o diâmetro das moléculas ( ), -
é a pressão (pode ser calculada usando ).
Passo 7
Calculando a pressão
:
Agora, calculamos
:
Passo 8
Com
calculado, podemos agora determinar a velocidade média
das moléculas de ar. A velocidade média para gases pode ser estimada por:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, podemos calcular a condutividade térmica
do ar usando a fórmula inicial:
Passo 10
Finalmente, usamos a Lei de Fourier para encontrar a quantidade de calor
:
Como não temos valores específicos para
,
ou
, vamos assumir valores padrão ou que estamos procurando uma expressão geral. Porém, geralmente, mais informações seriam necessárias para um cálculo exato. Se considerarmos que
,
e
são constantes ou fornecidos, a fórmula acima nos dá o valor de
.
Resposta
A quantidade de calor transferida de uma placa para a outra em 10 minutos devido à condutividade térmica do ar é aproximadamente
, levando em conta os parâmetros e suposições consideradas.
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