Determine a quantidade de calor transferida de uma das placas para a outra em 10 minutos devido à condutividade térmica do ar.
Suponha que o diâmetro de uma molécula de ar seja aproximadamente 0,3 nme e que a capacidade térmica específica do ar seja dada por cV=2,5 R / M, onde M representa a massa molar do ar cuja densidade é de 1,293 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra em 10 minutos, considerando a condutividade térmica do ar. Isso envolve conceitos de termologia, mais especificamente transferência de calor por condução. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Fourier para condução de calor, além de informações sobre as propriedades do ar fornecidas no enunciado, como o diâmetro das moléculas, a capacidade térmica específica e a densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Fourier, que nos ajuda a calcular a quantidade de calor transferido por condução. A fórmula básica é:
Q = k cdot A cdot De
Onde:
  • é a quantidade de calor transferido,
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área através da qual o calor está sendo transferido,
  • é a diferença de temperatura entre as placas,
  • é o tempo de transferência,
  • é a distância entre as placas.
No entanto, no enunciado, não temos informações sobre a área , a diferença de temperatura ou a distância . Isso significa que provavelmente precisamos determinar a condutividade térmica usando as propriedades fornecidas do ar e, em seguida, usar uma relação alternativa para encontrar .

Passo 3

Vamos calcular a condutividade térmica k = 13 cdot cv cdot lambda cdot vm do ar usando a teoria cinética dos gases. A condutividade térmica pode ser aproximada pela fórmula:
Onde:
  • é a capacidade térmica específica a volume constante,
  • é o comprimento médio livre entre colisões das moléculas (ou distância média percorrida entre choques),
  • é a velocidade média das moléculas.
Mas, para simplificar, vamos considerar que podemos usar a densidade e as propriedades fornecidas para calcular .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a massa molar cv = 2,5 cdot RM Rightarrow M = 2,5 cdot Rcv do ar. Sabemos que a densidade do ar é e que a capacidade térmica específica a volume constante é , onde é a constante dos gases.
A constante dos gases é aproximadamente .
Rearranjando a expressão para :
No entanto, precisamos de mais informações para determinar ou diretamente. Vamos assumir que sabemos o valor da capacidade térmica específica ou usar uma aproximação comum para o ar.

Passo 5

Para o ar seco, uma aproximação comum para a capacidade térmica específica a volume constante é cerca de M = 2,5 cdot Rcv = 2,5 cdot 8,314718 approx 0,0289 , kg/mol .
Agora, podemos usar essa informação para calcular a massa molar :
Isso nos dá a massa molar do ar como aproximadamente , o que está de acordo com o valor real do ar seco (~28,97 g/mol).

Passo 6

Agora, vamos determinar o comprimento médio livre lambda = kB cdot Traiz2 cdot pi cdot d^2 cdot p , que é a distância média que uma molécula percorre entre colisões. Podemos calcular usando a fórmula:
Onde:
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura absoluta (vamos assumir ),
  • é o diâmetro das moléculas ( ),
  • é a pressão (pode ser calculada usando ).

Passo 7

Calculando a pressão p = rho cdot R cdot TM = 1,293 cdot 8,314 cdot 3000,0289 approx 1,1 times 10^5 , Pa :
lambda = 1,38 times 10^-23 cdot 300raiz2 cdot pi cdot (0,3 times 10^-9)^2 cdot 1,1 times 10^5 approx 6,6 times 10^-8 , m
Agora, calculamos :

Passo 8

Com vm = raiz8 cdot R cdot Tpi cdot M calculado, podemos agora determinar a velocidade média vm = raiz8 cdot 8,314 cdot 300pi cdot 0,0289 approx 500 , m/s das moléculas de ar. A velocidade média para gases pode ser estimada por:
Substituindo os valores:

Passo 9

Agora, podemos calcular a condutividade térmica k = 13 cdot cv cdot lambda cdot vm = 13 cdot 718 cdot 6,6 times 10^-8 cdot 500 approx 7,93 , W/(m·K) do ar usando a fórmula inicial:

Passo 10

Finalmente, usamos a Lei de Fourier para encontrar a quantidade de calor Q = k cdot A cdot De:
Como não temos valores específicos para , ou , vamos assumir valores padrão ou que estamos procurando uma expressão geral. Porém, geralmente, mais informações seriam necessárias para um cálculo exato. Se considerarmos que , e são constantes ou fornecidos, a fórmula acima nos dá o valor de .

Resposta

A quantidade de calor transferida de uma placa para a outra em 10 minutos devido à condutividade térmica do ar é aproximadamente , levando em conta os parâmetros e suposições consideradas.

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