Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(g) un=ln (1n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar os quatro primeiros termos da sequência definida por e também calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito, se ele existir. Para isso, vamos usar conceitos de sequência numérica, funções logarítmicas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da sequência: . A função é o logaritmo natural, que nos dá o expoente ao qual a base (aproximadamente 2,718) deve ser elevada para obter o número dentro do logaritmo. Aqui, estamos aplicando o logaritmo ao inverso de .

Passo 3

Vamos calcular o primeiro termo da sequência quando u1 = ln(11) = ln(1) :
Sabemos que , porque . Então, .

Passo 4

Agora, para u2 = ln(12) = ln(0,5) :
O logaritmo de 0,5 é um número negativo, já que . Então, .

Passo 5

Para u3 = ln(13) = ln(0,3) :
Mais uma vez, o logaritmo de um número menor que 1 é negativo. Calculando, temos .

Passo 6

E para u4 = ln(14) = ln(0,25) :
Calculando esse logaritmo, obtemos .

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando limn infty un = limn infty ln(1n) = limn infty ln(n^-1) = limn infty -ln(n) tende ao infinito:
limn infty un = -infty
Sabemos que cresce sem limite conforme aumenta, então tende a menos infinito:
Portanto, o limite não existe no sentido de convergir para um número real; a sequência diverge para menos infinito.

Resposta

Os quatro primeiros termos da sequência são:
u1 = 0, u2 approx -0,693, u3 approx -1,098, u4 approx -1,386
O limite da sequência quando limn infty un = -infty tende ao infinito é:

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Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(e) un=n+1raizn
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b) sumn=1^infty(-1)^n-1 1(2 n-1)!
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
(l) un=n^22^n
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também lim n infty un, caso exista.
§ un=7^-n 3^n-1