Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar os quatro primeiros termos da sequência definida por
e também calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito, se ele existir. Para isso, vamos usar conceitos de sequência numérica, funções logarítmicas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da sequência:
. A função
é o logaritmo natural, que nos dá o expoente ao qual a base
(aproximadamente 2,718) deve ser elevada para obter o número dentro do logaritmo. Aqui, estamos aplicando o logaritmo ao inverso de
.
Passo 3
Vamos calcular o primeiro termo da sequência quando
:
Sabemos que
, porque
. Então,
.
Passo 4
Agora, para
:
O logaritmo de 0,5 é um número negativo, já que
. Então,
.
Passo 5
Para
:
Mais uma vez, o logaritmo de um número menor que 1 é negativo. Calculando, temos
.
Passo 6
E para
:
Calculando esse logaritmo, obtemos
.
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce sem limite conforme
aumenta, então
tende a menos infinito:
Portanto, o limite não existe no sentido de convergir para um número real; a sequência diverge para menos infinito.
Resposta
Os quatro primeiros termos da sequência são:
O limite da sequência quando
tende ao infinito é:
Exercícios relacionados
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(e)
(e)
Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(b)
(b)
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
(l)
(l)
Determine os quatro primeiros termos de cada uma das sequências dadas abaixo. Calcule também
, caso exista.
§
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