Determine os quatro primeiros termos de uma série de potências para a função senxcosx

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente determinar os quatro primeiros termos de uma série de potências para a função $ \sin(x)\cos(x) $. Para isso, vamos precisar conhecer as séries de potências das funções trigonométricas $ \sin(x) $ e $ \cos(x) $ e saber como manipular essas séries para encontrar o resultado desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das séries de potências para $ \sin(x) $ e $ \cos(x) $:
sin(x)
cos(x)

Passo 3

Agora, queremos multiplicar $ \sin(x) $ por $ \cos(x) $. Para facilitar, vamos multiplicar os termos das séries até obtermos os termos de até $ x^3 $, já que precisamos apenas dos quatro primeiros termos da série resultante.
sin(x)

Passo 4

Vamos multiplicar termo a termo:
x cdot 1 = x
x cdot ( -x^22 ) = -x^32
-x^36 cdot 1 = -x^36
-x^36 cdot ( -x^22 ) = x^512 (Podemos ignorar esse termo, pois queremos até x^3) é

Passo 5

Somando os termos obtidos:
sin(x)cos(x) approx x - x^32 - x^36 = x - ( 3x^36 + x^36 ) = x - 4x^36 = x - 2x^33

Resposta

Os quatro primeiros termos da série de potências para $ \sin(x)\cos(x) $ são:
sin(x)cos(x)

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