Determine o raio e o intervalo de convergência da série sumn=2^infty (2 x-5)^nraizn

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos descobrir o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série , calculamos o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui, nosso an+1an = (2x - 5)^n+1raizn+1(2x - 5)^nraizn = (2x - 5) cdot raiznraizn+1 é . Então, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando limn to infty | (2x - 5) cdot raiznraizn+1 | = |2x - 5| cdot limn to infty raiznraizn+1 = |2x - 5| cdot 1 = |2x - 5| tende ao infinito:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|2x - 5| < 1

Passo 6

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de |2x - 5| < 1 Rightarrow -1 < 2x - 5 < 1 :
Rightarrow 4 < 2x < 6
Rightarrow 2 < x < 3

Passo 7

Então, o raio de convergência é , já que a série converge quando está a uma distância de de .

Passo 8

Agora, precisamos verificar os extremos do intervalo e para ver se a série converge nesses pontos.

Passo 9

Para sumn=2^infty (2(2) - 5)^nraizn = sumn=2^infty (-1)^nraizn :
Essa é uma série alternada. Além disso, os termos tendem a zero e são decrescentes, então, pela Alternância de Convergência, a série converge.

Passo 10

Para sumn=2^infty (2(3) - 5)^nraizn = sumn=2^infty 1raizn :
Essa é uma série p com . Sabemos que séries p convergem quando , então aqui ela diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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