Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo: integral0^1 e^-x^2 / 10 d x

Passo 1

Olha só, a gente tem uma integral para resolver: . O objetivo aqui é aproximar o valor dessa integral usando séries de potências com uma precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos precisar usar a expansão em série da função exponencial e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de potências da função exponencial. A fórmula geral para e^u = sumn=0^infty u^nn! é:
e^-x^2/10 = sumn=0^infty (-x^2/10)^nn!
No nosso caso, , então substituindo:

Passo 3

Agora, vamos integrar essa série de potências de 0 a 1:
integral0^1 e^-x^2/10 , dx = integral0^1 sumn=0^infty (-x^2/10)^nn! , dx
A gente pode trocar a ordem da soma e da integral (isso é válido aqui), então fica:
sumn=0^infty (-1)^n10^n , n! integral0^1 x^2n , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral dentro da soma. A integral de integral0^1 x^2n , dx = 12n + 1 de 0 a 1 é:
integral0^1 e^-x^2/10 , dx = sumn=0^infty (-1)^n10^n , n! (2n + 1)
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa série para aproximar o valor da integral. Vamos somar até que os termos sejam menores que (-1)^010^0 cdot 0! cdot 1 = 1 para garantir quatro casas decimais de precisão.
Vamos calcular para (-1)^110^1 cdot 1! cdot 3 = -130 approx -0,0333 a (-1)^210^2 cdot 2! cdot 5 = 1100 cdot 2 cdot 5 = 11000 = 0,0010 :
  • Para (-1)^310^3 cdot 3! cdot 7 = -11000 cdot 6 cdot 7 = -142000 approx -0,000024 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Como o termo para já é menor que , podemos parar por aqui.

Passo 6

Agora, somamos os termos calculados:
1 - 0,0333 + 0,0010 - 0,000024 approx 0,9677

Resposta

Aproximando a integral usando séries de potências, obtemos o valor aproximado de 0,9677.

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