Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo:
Passo 1
Olha só, a gente tem uma integral para resolver:
. O objetivo aqui é aproximar o valor dessa integral usando séries de potências com uma precisão de quatro casas decimais. Para isso, vamos precisar usar a expansão em série da função exponencial e integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de potências da função exponencial. A fórmula geral para
é:
No nosso caso,
, então substituindo:
Passo 3
Agora, vamos integrar essa série de potências de 0 a 1:
A gente pode trocar a ordem da soma e da integral (isso é válido aqui), então fica:
Passo 4
Vamos calcular a integral dentro da soma. A integral de
de 0 a 1 é:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa série para aproximar o valor da integral. Vamos somar até que os termos sejam menores que
para garantir quatro casas decimais de precisão.
Vamos calcular para
a
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Como o termo para
já é menor que
, podemos parar por aqui.
Passo 6
Agora, somamos os termos calculados:
Resposta
Aproximando a integral
usando séries de potências, obtemos o valor aproximado de 0,9677.
Exercícios relacionados
(b) Encontre os pontos
para os quais o PVI tem solução única em algum intervalo ao qual
pertence.
Calcular, por séries de potências, com erro inferior a 0,001, o valor das seguintes integrais:
Calcule o valor de
.
Determine o raio e o intervalo de convergência da série