Calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a soma infinita
. Isso significa que vamos somar termos que continuam para sempre, seguindo o padrão dado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como relacioná-las com funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o termo geral da soma para facilitar a visualização. O termo é
, que dá para escrever como
. Assim, nossa série fica:
Passo 3
Agora, lembre-se da série geométrica básica:
, válida para
. No nosso caso,
, mas temos esse fator extra de
. Para lidar com isso, precisamos de uma fórmula que conecte séries geométricas com termos que envolvem
no denominador.
Passo 4
Existe uma fórmula útil para esse tipo de série:
Essa identidade funciona para
. Ela relaciona a soma da série com o logaritmo natural, o que vai nos ajudar a calcular a soma que queremos.
Passo 5
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso específico. Aqui,
, então substituímos na fórmula:
Passo 6
Vamos simplificar agora. Calculando dentro do logaritmo:
Então, a expressão fica:
Resposta
O valor da soma infinita é
.
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(b) Encontre os pontos
para os quais o PVI tem solução única em algum intervalo ao qual
pertence.
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Resolva a equação