Calcule o valor de sumn=0^infty 12^n(n+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a soma infinita sumn=0^infty 12^n(n+1). Isso significa que vamos somar termos que continuam para sempre, seguindo o padrão dado. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas e como relacioná-las com funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o termo geral da soma para facilitar a visualização. O termo é 12^n(n+1), que dá para escrever como 1n+1 cdot (12)^n. Assim, nossa série fica:
sumn=0^infty 1n+1 cdot (12)^n

Passo 3

Agora, lembre-se da série geométrica básica: sumn=0^infty r^n = 11 - r, válida para |r| < 1. No nosso caso, r = 12, mas temos esse fator extra de 1n+1. Para lidar com isso, precisamos de uma fórmula que conecte séries geométricas com termos que envolvem n no denominador.

Passo 4

Existe uma fórmula útil para esse tipo de série:
sumn=0^infty r^nn+1 = -ln(1 - r)r
Essa identidade funciona para |r| < 1. Ela relaciona a soma da série com o logaritmo natural, o que vai nos ajudar a calcular a soma que queremos.

Passo 5

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso específico. Aqui, r = 12, então substituímos na fórmula:
sumn=0^infty 12^n(n+1) = -ln(1 - 12)12

Passo 6

Vamos simplificar agora. Calculando dentro do logaritmo:
1 - 12 = 12
Então, a expressão fica:
-ln(12)12 = --ln(2)12 = ln(2)12 = 2,ln(2)

Resposta

O valor da soma infinita é 2,ln(2).

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