Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(h) sumn=0^infty raizn(x-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre séries de potências e precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso significa descobrir para quais valores de essa série vai somar de forma que ela “funcione”, ou seja, não dê infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o raio de convergência de uma série de potências da forma , a gente pode usar o Teste da Razão (Ratio Test). Esse teste nos ajuda a determinar onde a série converge absolutamente.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão aqui. A ideia é calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se for maior que 1, diverge.

Passo 4

No nosso caso, an+1an = raizn+1raizn = raizn+1n = raiz1 + 1n e . Então, vamos calcular:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty raiz1 + 1n = raiz1 + 0 = 1 tende ao infinito:

Passo 6

Aplicando o limite no Teste da Razão, temos:
L cdot |x - 4| < 1 Rightarrow 1 cdot |x - 4| < 1 Rightarrow |x - 4| < 1

Passo 7

A expressão nos diz que o raio de convergência é 1, ou seja, .

Passo 8

Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade:
|x - 4| < 1 Rightarrow -1 < x - 4 < 1 Rightarrow 3 < x < 5

Passo 9

Agora, precisamos verificar os pontos nas extremidades do intervalo, ou seja, e , para ver se a série converge nesses valores.

Passo 10

Para sumn=0^infty raizn(3 - 4)^n = sumn=0^infty raizn(-1)^n :
Substituindo na série:
sumn=0^infty raizn(5 - 4)^n = sumn=0^infty raizn(1)^n = sumn=0^infty raizn
Essa série não converge de forma absoluta nem condicional, pois a sequência não tende a zero.
Para :
Substituindo na série:
Essa também não converge, já que a soma das raízes de cresce sem limites.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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