Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre séries de potências e precisamos encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso significa descobrir para quais valores de essa série vai somar de forma que ela “funcione”, ou seja, não dê infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o raio de convergência de uma série de potências da forma , a gente pode usar o Teste da Razão (Ratio Test). Esse teste nos ajuda a determinar onde a série converge absolutamente.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão aqui. A ideia é calcular o limite:
Se , a série converge; se for maior que 1, diverge.
Passo 4
No nosso caso, an+1an = raizn+1raizn = raizn+1n = raiz1 + 1n e . Então, vamos calcular:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty raiz1 + 1n = raiz1 + 0 = 1 tende ao infinito: