Use uma integral dupla para calcular:
O volume sob a superfície z = 3 x^3 + 3 x^2 y e acima do retângulo R = {(x, y): 1 <= x <= 3, 0 <= y <= 2}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume abaixo da superfície e acima do retângulo . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que é uma ferramenta matemática usada para calcular volumes em regiões definidas no plano .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como montar a integral dupla para calcular esse volume. A integral dupla vai somar todas as “fatias” infinitesimais do volume sobre o retângulo . A expressão geral para o volume é:
Aqui, integramos primeiro em relação a de 0 a 2 e depois em relação a de 1 a 3.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante:
Integrando cada termo separadamente:
Somando os resultados:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a de 1 a 3:
Integrando cada termo:
Somando os resultados:

Resposta

O volume sob a superfície e acima do retângulo é 172 unidades cúbicas.

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