Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
© sumn=0^infty (3 x-2)^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o raio e o intervalo de convergência da série de potências . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta super útil para analisar se uma série converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para a série , se o limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, diverge, e se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso na nossa série. Aqui, cada termo da série é an+1an = (3x - 2)^n+1(n+1)!(3x - 2)^nn! = (3x - 2)^n+1 cdot n!(3x - 2)^n cdot (n+1)! = 3x - 2n+1 . Vamos calcular :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o valor absoluto desse quociente e tirar o limite quando L = limn to infty | 3x - 2n+1 | vai para o infinito:
L = 0
Como cresce sem limites e é uma constante em relação a , o limite vai ser:

Passo 5

Como é menor que 1, o Teste da Razão nos diz que a série converge para qualquer valor de . Ou seja, não há restrição para .

Passo 6

O raio de convergência é o valor tal que a série converge para , onde é o centro da série. No nosso caso, como a série converge para qualquer , o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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