Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(n)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
Isso envolve análise de séries, especificamente analisando quando essa série converge. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o uso do Teste da Raiz. Observe que a série pode ser escrita como:
Aqui, identificamos que a série é da forma , onde .
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Raiz, que diz que para a série , o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, . Então, vamos calcular:
Passo 4
Simplificando o limite:
limn to infty n2n-5 = limn to infty 12 - 5n = 12 - 0 = 12
Então:
1R = 12 implies R = 2
Passo 5
Com o raio de convergência -2 - R < x < -2 + R implies -4 < x < 0 e o centro , o intervalo de convergência é dado por:
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .