A partir da soma da série geométrica sumn=1^infty x^n, para |x|<1, encontre as somas das séries abaixo.
(g) sumn=1^infty (-1)^n x^nn

Passo 1

Então, a gente vai resolver a soma da série sumn=1^infty (-1)^n x^nn para |x| < 1. Essa série é bem parecida com uma série geométrica, que é do tipo sumn=1^infty x^n. Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre séries geométricas e um pouco de cálculo, principalmente sobre integrais.

Passo 2

Primeiro, lembrando a série geométrica: sabemos que sumn=1^infty x^n = x1 - x para |x| < 1. Isso é útil porque nossa série tem uma estrutura similar, mas com alguns ajustes.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a série que queremos: sumn=1^infty (-1)^n x^nn. Note que temos um termo (-1)^n, que faz a série alternar os sinais dos termos. Além disso, cada termo é dividido por n, o que sugere que podemos relacionar isso com uma integral.

Passo 4

Sabemos que integrar uma série termo a termo pode nos ajudar a simplificar. Vamos considerar a integral da série geométrica:
integral sumn=1^infty (-x)^n , dx = sumn=1^infty integral (-x)^n , dx
Integrando cada termo, temos:
sumn=1^infty (-1)^n x^n+1n+1
Mas queremos uma divisão por n, então vamos ajustar isso.

Passo 5

De fato, a série que estamos olhando é a expansão da função logarítmica. Sabemos que:
sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn = ln(1 + x)
Isso significa que:
sumn=1^infty (-1)^n x^nn = -ln(1 + x)

Resposta

A soma da série é -ln(1 + x) para |x| < 1.

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