A partir da soma da série geométrica
, para
, encontre as somas das séries abaixo.
(g)
(g)
Passo 1
Então, a gente vai resolver a soma da série
para
. Essa série é bem parecida com uma série geométrica, que é do tipo
. Pra resolver isso, vamos precisar saber sobre séries geométricas e um pouco de cálculo, principalmente sobre integrais.
Passo 2
Primeiro, lembrando a série geométrica: sabemos que
para
. Isso é útil porque nossa série tem uma estrutura similar, mas com alguns ajustes.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a série que queremos:
. Note que temos um termo
, que faz a série alternar os sinais dos termos. Além disso, cada termo é dividido por
, o que sugere que podemos relacionar isso com uma integral.
Passo 4
Sabemos que integrar uma série termo a termo pode nos ajudar a simplificar. Vamos considerar a integral da série geométrica:
Integrando cada termo, temos:
Mas queremos uma divisão por
, então vamos ajustar isso.
Passo 5
De fato, a série que estamos olhando é a expansão da função logarítmica. Sabemos que:
Isso significa que:
Resposta
A soma da série é
para
.
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Calcule as integrais duplas na região retangular R:
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(n)
(n)
Determine as integrais indefinidas, utilizando a regra do logaritmo.
Considere a EDO
. Obtenha a sua solução geral quando
.